Kommentarer til Øving 4 oppgave 3:

Av figuren på side 3 i løsningsforslaget fås likevektsligningen

sin θ_{0} [\frac{m_{1}aΩ^{2} − \frac{1}{2}m_{2}g/ cos θ_{0}}{m_{1}g + \frac{1}{2}m_{2}g} − \frac{1}{cos θ_{0}} ] = 0.

Det er altså to løsninger for likevektsvinkelen θ_{0}. Den ene er

θ_{0} = 0.

Denne gjelder for små omdreiningshastigheter, fra Ω = 0 opp til Ω = Ω_{min}, hvor Ω_{min} er gitt ved

1 = \frac{m_{1} + m_{2}}{2m_{1}} \frac{ω_{0}^{2}}{Ω_{min}^{2}} .

Den andre løsningen er

cos θ_{0} = \frac{m_{1} + m_{2}}{2m_{1}} \frac{ω_{0}^{2}}{Ω^{2}} ,

for Ω > Ω_{min}. Med andre ord, vi må over en terskelverdi Ω_{min} før θ_{0} > 0 representerer en stabil dynamisk likevekt. Det samme gjelder også for en enkel roterende pendel med masse m i enden av ei masseløs stang med lengde a. Hvis stanga roterer omkring den vertikale aksen med vinkelhastighet Ω, slik at stanga danner en konstant vinkel θ_{0} med vertikalen, gir en betraktning av krefter (som er tyngdekraften mg og snordraget, evt ”stangdraget” s) at

mg = s cos θ_{0}

(null nettokraft på m vertikalt) og

ma sin θ_{0} · Ω^{2} = s sin θ_{0}

(sentrifugalkraften = horisontalkomponenten av s). Også her ser vi at vi har to mulige løsninger for θ_{0}. Den ene er

θ_{0} = 0

(og dermed s = mg), mens den andre er gitt ved

cos θ_{0} = \frac{mg}{s} = \frac{mg}{maΩ^{2}} = \frac{g}{aΩ^{2}}

Terskelverdien Ω_{min} som må overstiges for å gi stabil likevekt med θ_{0} > 0 er nå gitt ved

1 = \frac{g}{aΩ_{min}^{2}}

Legg merke til at θ_{0} = 0 er en mulig løsning selv om Ω > Ω_{min}, men det representerer da en ustabil likevekt: En liten forstyrrelse bort fra θ = 0 vil føre til at stanga svinger ut og inntar sin stabile likevekt gitt ved

cos θ_{0} = \frac{g}{aΩ^{2}}

Eller, vil den det....? Kanskje den vil svinge forbi θ_{0} og deretter tilbake igjen, slik at den aldri vil innta en stabil dynamisk likevekt? Her overlates videre initiativ til den nysgjerrige student!