TEP4145 Klassisk mekanikk Vår 2007

Øving 11, løsningsforslag

OPPGAVE 1

Dreieimpulsen er

L = r × p

Vi ser først på [p_{i}, L_{j}] og starter med i = j, f.eks. i = 1:

[p_{x}, L_{x}] = [p_{x}, yp_{z} − zp_{y}]
= [p_{x}, y]p_{z} + [p_{x}, p_{z}]y − [p_{x}, z]p_{y} − [p_{x}, p_{y}]z

Vi har

[p_{i}, x_{j}] = −δ_{ij} , [p_{i}, p_{j}] = 0

og dermed

[p_{x}, L_{x}] = 0

Tilsvarende:

[p_{y}, L_{y}] = [p_{z}, L_{z}] = 0

Vi ser deretter på [p_{i}, L_{j}] med i ≠ j, f.eks. i = 1 og j = 2:

[p_{x}, L_{y}] = [p_{x}, zp_{x} − xp_{z}]
= [p_{x}, z]p_{x} + [p_{x}, p_{x}]z − [p_{x}, x]p_{z} − [p_{x}, p_{z}]x
= 0 + 0 − (−1)p_{z} − 0
= p_{z}

Syklisk ombytte av x, y, z gir deretter

[p_{y}, L_{z}] = p_{x} , [p_{z}, L_{y}] = p_{z}

Ombytte av indekser gir kun et fortegnsskifte, f.eks.

[p_{z}, L_{y}] = −p_{x}

Alt i alt:

[p_{i}, L_{j}] = ε_{ijk}p_{k}

Med L_{j} = ε_{jkl}x_{k}p_{l} får vi dette på direkten:

[p_{i}, L_{j}] = [p_{i}, ε_{jkl}x_{k}p_{l}]
= [p_{i}, x_{k}]ε_{jkl}p_{l}
= −δ_{ik}ε_{jkl}p_{l}
= −ε_{jil}p_{l}
= ε_{ijl}p_{l}

Og da er vi vel i stand til å ta [x_{i}, L_{j}] på samme måte:

[x_{i}, L_{j}] = [x_{i}, ε_{jkl}x_{k}p_{l}]
= [x_{i}, p_{l}]ε_{jkl}x_{k}
= δ_{il}ε_{jkl}x_{k}
= ε_{jki}x_{k}
= ε_{ijk}x_{k}

OPPGAVE 2 Vi har Hamiltonfunksjonen

H = \frac{1}{2m} (p − qA)^{2} + qϕ.

der A og ϕ er funksjoner av koordinatkomponentene x_{i} (men ikke de kanoniske impulskomponentene p_{i}). Hamiltons ligninger blir dermed

ẋ_{i} = \frac{∂H}{∂p_{i}}
= \frac{1}{2m} \frac{∂}{∂p_{i}} (p_{j} − qA_{j}) (p_{j} − qA_{j})
= \frac{1}{2m}δ_{ij} (p_{j} − qA_{j}) · 2
= \frac{1}{m} (p_{i} − qA_{i})

og

ṗ_{i} = −\frac{∂H}{∂x_{i}}
= −\frac{1}{m} (p_{j} − qA_{j}) · (−q) \frac{∂A_{j}}{∂x_{i}} − q \frac{∂ϕ}{∂x_{i}}
= \frac{q}{m} (p_{j} − qA_{j}) \frac{∂A_{j}}{∂x_{i}} − q \frac{∂ϕ}{∂x_{i}}

Her kan vi sette inn

p_{j} − qA_{j} = mẋ_{j}

som gir

ṗ_{i} = qẋ_{j} \frac{∂A_{j}}{∂x_{i}} − q \frac{∂ϕ}{∂x_{i}}

Vi har

[v × (∇ × A)]_{i} = ε_{ijk}v_{j}ε_{klm}∂_{l}A_{m}
= … se kompendiet …
= v_{j}∂_{i}A_{j} − v_{j}∂_{j}A_{i}

slik at

v_{j}∂_{i}A_{j} = [v × (∇ × A)]_{i} + v_{j}∂_{j}A_{i}
= (v × B)_{i} + Ȧ_{i} − \frac{∂A_{i}}{∂t}

dvs

ṗ_{i} = q(v × B)_{i} + qȦ_{i} − q \frac{∂A_{i}}{∂t} − q \frac{∂ϕ}{∂x_{i}}

eller

\frac{d}{dt} (p_{i} − qA_{i}) = qE_{i} + q(v × B)_{i}

dvs

\frac{d}{dt} (mv) = q(E + v × B)

Og i følge Newton er jo venstre side her lik F.