TEP4145 Klassisk mekanikk Vår 2007

Øving 7, løsningsforslag

OPPGAVE 1

Posisjonen til m_{1} er x_{1} = x. Kinetisk energi for m_{1}:

T_{1} = \frac{1}{2}m_{1}ẋ^{2}

Kinetisk energi for m_{2}:

T_{2} = \frac{1}{2}m_{2} (ẋ_{2}^{2} + ẏ_{2}^{2})

Med positiv θ i figuren over har vi

x_{2} = x + l sin θ og y_{2} = l cos θ

som gir

ẋ_{2} = ẋ + lθ̇ cos θ og ẏ_{2} = −lθ̇ sin θ

Potensiell energi (kun for m_{2} med m_{1} der V = 0):

V = −m_{2}gl cos θ

Lagrangefunksjonen blir:

L = L(ẋ, θ, θ̇) = T (ẋ, θ, θ̇) − V (θ)
= \frac{m_{1} + m_{2}}{2} ẋ^{2} + \frac{m_{2}}{2} (2lẋθ̇ cos θ + l^{2}θ̇^{2}) + m_{2}gl cos θ

Her er L uavhengig av x (dvs x er en syklisk koordinat) slik at den kanoniske impulsen p_{x} = ∂L/∂ẋ er en konstant:

p_{x} = (m_{1} + m_{2})ẋ + m_{2}lθ̇ cos θ = konst

I følge oppgaven kan vi anta at systemets massemiddelpunkt ikke beveger seg i x-retning. Med andre ord, p_{x} = 0, og vi kan integrere uttrykket for p_{x}. Det gir:

(m_{1} + m_{2})x + m_{2}l sin θ = konst

Systemets totale energi er:

E = T + V = \frac{m_{1} + m_{2}}{2} ẋ^{2} + \frac{m_{2}}{2} (2lẋθ̇ cos θ + l^{2}θ̇^{2}) − m_{2}gl cos θ

Vi kan eliminere ẋ ved å benytte oss av at p_{x} = 0:

ẋ = −\frac{m_{2}}{m_{1} + m_{2}} lθ̇ cos θ

Total energi er dermed

E = \frac{m_{2}lθ̇^{2}}{2} (1 − \frac{m_{2}}{m_{1} + m_{2}} cos^{2} θ) − m_{2}gl cos θ

Denne ligningen kan løses med hensyn på θ̇:

θ̇ = \frac{1}{l}\sqrt{\frac{2 (E + m_{2}gl cos θ)}{m_{2} (1 − \frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}} cos^{2} θ)}}

Integrasjon gir deretter

t = l\sqrt{\frac{m_{2}}{2(m_{1} + m_{2})}} ∫ \sqrt{\frac{m_{1} + m_{2} sin^{2} θ}{E + m_{2}gl cos θ}} dθ

Her har vi foretatt følgende lille omskriving:

1 − \frac{m_{2}}{m_{1} + m_{2}} cos^{2} θ = \frac{m_{1} + m_{2} sin^{2} θ}{m_{1} + m_{2}}

Massesenteret ligger i ro, og systemet svinger som en fysisk pendel omkring massesenteret.

OPPGAVE 2

Denne oppgaven kan løses ved figurbetraktning, eller på tilsvarende måte som er gjort i kap. 5.6.1 i kompendiet (kap 4-9 i det gule). La oss her bruke førstnevnte metode, som er det enkleste, i hvert fall hvis vi har en bra figur:

Rotasjonen som svarer til ω, dvs rotasjon om en vilkårlig akse, kan oppfattes som 3 påfølgende rotasjoner med vinkelhastigheter henholdsvis ω_{ϕ} = ϕ̇, ω_{θ} = θ̇ og ω_{ψ} = ψ̇. Her tilsvarer ω_{ϕ} rotasjon omkring z-aksen, med andre ord:

ω_{ϕ} = ϕ̇ ẑ

Videre tilsvarer ω_{θ} rotasjon omkring ξ-aksen, med andre ord:

ω_{θ} = θ̇ ξ̂

Endelig tilsvarer ω_{ψ} rotasjon omkring z′-aksen, med andre ord:

ω_{ψ} = ψ̇ ẑ′

Enhetsvektoren ξ̂ ligger i xy-planet og kan dekomponeres slik:

ξ̂ = cos ϕ x̂ + sin ϕ ŷ

Enhetsvektoren ẑ′ har komponent med lengde cos θ langs z-aksen. Projeksjonen av ẑ′ på xyplanet har lengde sin θ og peker i retning av positiv x og negativ y dersom vi har dreid en positiv vinkel ϕ som vist i figuren. Dermed må ẑ′ ha komponent sin θ · sin ϕ i x-retning og komponent − sin θ · cos ϕ i y-retning. Alt i alt:

ẑ′ = cos θ ẑ + sin θ · sin ϕ x̂ − sin θ · cos ϕ ŷ

Total komponent av ω langs x-aksen blir dermed

ω_{x} = θ̇ · cos ϕ + ψ̇ · sin θ · sin ϕ,

total komponent av ω langs y-aksen blir

ω_{y} = θ̇ · sin ϕ − ψ̇ · sin θ · cos ϕ,

og total komponent av ω langs z-aksen blir

ω_{z} = ϕ̇ + ψ̇ · cos θ,

som var det vi skulle vise.

Sett fra et referansesystem som ikke roterer med karusellen, er det her to krefter som virker på ryggsekken: Den kraften F som du utøver på sekken (for å holde den i ro i fanget ditt) og tyngdekraften −mgẑ. (Vi kan her trygt se bort fra effekter som skyldes at jorda roterer, for jordas vinkelhastighet er ubetydelig i forhold til karusellens vinkelhastighet.) Newtons andre lov gir da

F_{tot} = ma = F − mg ẑ

I forelesningene utledet vi sammenhengen

a = a_{r} + 2ω × v_{r} + ω × (ω × r) + ω̇ × r

Her er v_{r} og a_{r} henholdsvis hastigheten og akselerasjonen til sekken målt i det roterende referansesystemet, dvs det som ligger fast i karusellen. Her holder du sekken i ro, så begge disse er lik null. Med positiv x-akse fra karusellens sentrum mot deg har vi

ω(t) = αt = αt ẑ
ω̇ = α = α ẑ
r = r x̂

med tallverdiene α = 0.2, t = 10 og r = 5 (alt i SI-enheter) ved det aktuelle tidspunktet. Her forsvinner altså coriolisleddet, ettersom v_{r} = 0. Sentrifugalleddet blir

ω × (ω × r) = αt ẑ × (αt ẑ × r x̂) = α^{2}t^{2}r ẑ × ŷ = −α^{2}t^{2}r x̂

”Eulerleddet” blir

ω̇ × r = α ẑ × r x̂ = αr ŷ

Settes tallverdier inn, finner vi at du må utøve en kraft F på sekken med komponenter F_{x} = −160 N, F_{y} = 8 N og F_{z} = 80 N (med g = 10).