TEP4145 Klassisk mekanikk Vår 2007

Øving 11

OPPGAVE 1 (For alle studentene.)

Vis at

[p_{i}, L_{j}] = ε_{ijk}p_{k}

og at

[x_{i}, L_{j}] = ε_{ijk}x_{k}

Her angir [⋯] en Poisson-klamme, mens p_{i}, L_{i} og x_{i} er kartesisk komponent nr i av henholdsvis impulsen p, dreieimpulsen L og posisjonsvektoren r.

OPPGAVE 2 (Kun for fysikk.)

Gitt Hamiltonfunksjonen for en partikkel i et elektromagnetisk felt,

H = \frac{1}{2m} (p − qA)^{2} + qϕ.

Finn Hamiltons ligninger. Benytt disse til å finne uttrykket for Lorentzkraften:

F = qE + qv × B

Hint: Bruk f.eks. ε_{ijk}-formalismen til å omforme [v × (∇ × A)]_{i}.

OPPGAVE 3 (Kun for fysikk.)

Finn det differensielle spredningstverrsnittet σ(θ) for spredning av en punktformet partikkel mot en hard kule med radius a (dvs: V = ∞ for r < a og V = 0 for r > a). Finn herav det totale spredningstverrsnittet σ. Er svaret rimelig?

OPPGAVE 4 (Kun for fysikk.) Anta nå at partikkelen spres i et sentralfelt hvor sentralkraften f = −dV/dr er repulsiv og lik

f = \frac{k}{r^{3}} (k > 0)

Vis at i dette tilfelle gir formelen

θ = π − 2 ∫_{0}^{u_{m}} \frac{s du}{\sqrt{1 − V (u)/E − s^{2}u^{2}}} (u = 1/r)

et differensielt spredningstverrsnitt lik

σ(θ) = \frac{k}{2πE} \frac{1 − x}{x^{2}(2 − x)^{2} sin πx},

der x = θ/π.

Oppgitt:

∫ \frac{dx}{\sqrt{1 − x^{2}}} = arcsin x.