TEP4145 Klassisk mekanikk Vår 2007

Øving 7

OPPGAVE 1

Ei tilnærmet masseløs stang har lengde l og masser m_{1} og m_{2} i hver sin ende. Opphengningspunktet (dvs massen m_{1}) kan gli uten friksjon langs en horisontal føring i x-retning. Anta at systemet svinger som en plan pendel og velg nullnivå for potensiell energi i m_{1}’s høyde.

• Finn systemets lagrangefunksjon.

Anta videre at massemiddelpunktet ikke beveger seg i x-retning.

• Finn et uttrykk for systemets totale energi E, og deretter et (integral-)uttrykk for tiden t = t(θ). (Integralet skal ikke løses.)

OPPGAVE 2

Et stivt legeme roterer med vinkelhastighet ω, der retningen på vektoren ω angir (den instantane) rotasjonsaksen. I forelesningene fant vi komponentene av ω langs legemets akser x′, y′ og z′, henholdsvis ω_{x′}, ω_{y′} og ω_{z′}, uttrykt ved eulervinklene ϕ, θ og ψ. Vis at komponentene av ω langs ”romaksene” x, y og z (dvs aksene som er faste i rommet) blir

ω_{x} = θ̇ cos ϕ + ψ̇ sin θ sin ϕ
ω_{y} = θ̇ sin ϕ − ψ̇ sin θ cos ϕ
ω_{z} = ψ̇ cos θ + ϕ̇

OPPGAVE 3

Anta at du sitter på en karusell i et sete 5 m fra karusellens rotasjonssentrum. I fanget har du ryggsekken din som har masse 8 kg. Karusellen står til å begynne med i ro men øker så rotasjonshastigheten jevnt, med vinkelakselerasjon 0.2 rad/s^{2} (mot klokka). Med hvor stor kraft F (horisontalt) må du holde på sekken ti sekunder etter at karusellen startet? Regn ut både F og retningen på F (f.eks. i forhold til linjen fra karusellens sentrum mot deg).