TEP4145 Klassisk mekanikk Vår 2007

Øving 8

OPPGAVE 1

Finn Lagranges og Hamiltons ligninger i sylinderkoordinater q_{i} = (r, θ, z) for en partikkel med masse m i et potensial V = V (q_{i}).

OPPGAVE 2

Foucaultpendelen

Vi har nå endelig fått på plass en foucaultpendel her i Realfagbygget. I denne oppgaven skal vi se nærmere på pendelbevegelsen, slik vi observerer den i vårt roterende koordinatsystem. Mer presist skal vi vise at pendelens svingeplan, definert ved en vinkel ϕ i forhold til (for eksempel) syd-nord-retningen (se figur neste side), roterer med hastighet

ϕ̇ = ω sin θ

på grunn av corioliskraften −2mω × v. Her er ω jordas vinkelhastighet (dvs 2π/24 i enheten inverse timer) og θ er breddegraden der hvor pendelen er plassert (dvs ca 63^{∘} 36′ her i Realfagbygget). Med andre ord, pinnene som Ola Hunderi setter opp i en sirkel rundt pendelen om morgenen, er alle slått ned av den pendlende kula etter ca 13.4 timer, hvilket skulle bli i nitida om kvelden.

a) Pendelen har lengde l og ei kule med masse m i enden. Anta at snora er masseløs og at pendelen svinger med små utslag. Se bort fra sentrifugalkraften (−mω×(ω×r)). Kreftene som virker på kula er dermed tyngdekraften, snordraget og corioliskraften. Velg et koordinatsystem med origo i sentrum av kula når den henger i ro, positiv x-akse mot øst og positiv y-akse mot nord. (Og dermed positiv z-akse vertikalt oppover.) Vis at bevegelsen i xy-planet under disse forutsetningene beskrives av differensialligningene

ẍ − 2Ωẏ + ω_{0}^{2}x = 0
ÿ + 2Ωẋ + ω_{0}^{2}y = 0

Her har vi innført Ω = ω sin θ (dvs vertikalkomponenten av jordas vinkelfrekvens ω, og som etter hvert skal vise seg å være lik pendelplanets vinkelhastighet ϕ̇) og ω_{0} = \sqrt{g/l} (dvs pendelens naturlige svingefrekvens). b) Innfør den komplekse variabelen u = x + iy og vis at de to ligningene over kan kombineres til en enkel differensialligning

ü + 2iΩu̇ + ω_{0}^{2}u = 0

c) Løs ligningen for u, for eksempel ved å gjette på at løsningen må være på formen exp(αt). Bruk initialbetingelsene x = y = ẏ = 0 og ẋ = v_{0} ved t = 0 og vis at bevegelsen i xy-planet blir

x(t) = \frac{v_{0}}{ω_{0}} cos Ωt sin ω_{0}t
y(t) = −\frac{v_{0}}{ω_{0}} sin Ωt sin ω_{0}t

Med andre ord: En harmonisk svingning med vinkelfrekvens ω_{0} der svingeplanet roterer omkring z-aksen med vinkelfrekvens Ω.