TEP4145 Klassisk mekanikk Vår 2007

Øving 9

OPPGAVE 1 Bestem treghetsmatrisen I relativt til

a) aksene x, y, z

b) aksene x′, y′, z′ for systemet med fire punktmasser i figuren nedenfor. (Alle massene har z = z′ = 0.)

OPPGAVE 2

Ei kule med radius R har uniform massetetthet ρ. Kula har et kuleformet hulrom med radius r, som vist i figuren nedenfor. Kula, som er en symmetrisk snurrebass, har symmetriaksen langs z-aksen.

Kulas massesenter ligger åpenbart på z-aksen. Bestem avstanden z_{0} fra kulas (geometriske) sentrum til massesenteret. Bestem kulas treghetsmomenter med hensyn på symmetriaksen (I_{z}) og med hensyn på en akse som står vinkelrett på z-aksen og som passerer gjennom massesenteret (I_{x} = I_{y}).

Oppgitt: Med kontinuerlig massefordeling:

I_{jk} = ∫_{V} ρ(r) (r^{2}δ_{jk} − x_{j}x_{k}) d^{3}r

Med punktmasser:

I_{jk} = ∑ m(x_{i}x_{i}δ_{jk} − x_{j}x_{k})

Treghetsmoment for (homogen) kule med masse M og radius R:

\frac{2}{5}MR^{2}

Steiners sats:

I = I_{CM} + Ms^{2}

Fasit: 1a: I_{11} = I_{22} = 2a^{2}(m + M), I_{12} = I_{21} = 2a^{2}(m − M), I_{33} = 4a^{2}(m + M) 1b: I_{11} = 4Ma^{2}, I_{22} = 4ma^{2}, I_{33} = 4(m + M)a^{2}

2:

z_{0} = \frac{r^{3}(R − r)}{R^{3} − r^{3}}

I_{z} = \frac{8}{15}πρ(R^{5} − r^{5})

I_{x} = I_{y} = \frac{4}{3}πρ [\frac{2}{5} (R^{5} − r^{5}) − \frac{(R − r)^{2}r^{3}R^{3}}{R^{3} − r^{3}} ]