TFY4104 18. des. 2013

\underline{FORMLER.} Formlenes gyldighetsområde og symbolenes betydning antas å være kjent. Symbolbruk og betegnelser som i forelesningene. Vektorer med fete typer.

Newtons andre lov: F = dp/dt p = mv = mṙ

Konstant akselerasjon: v = v_{0} + at x = x_{0} + v_{0}t + \frac{1}{2}at^{2}

Konstant vinkelakselerasjon: ω = ω_{0} + αt θ = θ_{0} + ω_{0}t + \frac{1}{2}αt^{2}

Arbeid: dW = F · dr Kinetisk energi: K = \frac{1}{2}mv^{2}

Konservativ kraft og potensiell energi: U(r) = − ∫\begin{matrix}r \\ r & 0 \end{matrix} F · dr F = −∇U(r)

Friksjon,  statisk: f ≤ μ_{s}N  kinetisk: f = μ_{k}N

Luftmotstand (liten v): f = −kv Luftmotstand (stor v): f = −Dv^{2}v̂

Tyngdepunkt: R_{CM} = \frac{1}{M} ∑_{i} r_{i}m_{i} → \frac{1}{M} ∫ r · dm

Sirkelbevegelse: v = rω Sentripetalakselerasjon: a = −v^{2}/r Baneakselerasjon: a = dv/dt = r dω/dt Dreiemoment: τ = (r − r_{0}) × F Statisk likevekt: ΣF_{i} = 0 Στ_{i} = 0 Dreieimpuls: L = (r − r_{0}) × p τ = dL/dt Stive legemer, sylindersymmetri mhp rotasjonsaksen: L = L_{b} + L_{s} = (R_{CM} − r_{0}) × MV + I_{0}ω

Kinetisk energi, stivt legeme: K = \frac{1}{2}MV^{2} + \frac{1}{2}I_{0}ω^{2} Treghetsmoment: I = ∑_{i} m_{i}r_{i}^{2} → ∫ r^{2}dm

Steiners sats (parallellakseteoremet): I = I_{0} + Md^{2}

Gravitasjon: F = −\frac{GMm}{r^{2}} r̂ U(r) = −\frac{GMm}{r} g = F /m V (r) = U(r)/m

Enkel harmonisk oscillator:  ẍ + ω^{2}x = 0  T = 2π/ω  f = 1/T = ω/2π

Masse i fjær: ω = \sqrt{k/m} Fysisk pendel: ω = \sqrt{mgd/I} Matematisk pendel: ω = \sqrt{g/L} Dempet svingning, langsom bevegelse i fluid: mẍ + bẋ + kx = 0

Underkritisk demping:  x(t) = Ae^{−bt/2m} sin(ωt + ϕ)  ω = \sqrt{k/m − b^{2}/4m^{2}}
Overkritisk demping:  x(t) = Ae^{−t/τ_{1}} + Be^{−t/τ_{2}}  τ_{1,2} = (b/2m ± \sqrt{b^{2}/4m^{2} − k/m})^{−1}

Tvungen svingning, harmonisk ytre kraft: mẍ + bẋ + kx = F_{0} cos ωt (partikulær-)løsning: x(t) = A(ω) sin(ωt + ϕ(ω))

amplitude:  A(ω) = \frac{F_{0}/m}{\sqrt{(ω^{2} − ω_{0}^{2})^{2} + (bω/m)^{2}}}  ω_{0}^{2} = k/m

Gauss’ feilforplantningslov: (Δq)^{2} = ∑_{i=1}^{n} (\frac{∂q}{∂a_{i}} Δa_{i})^{2}

Middelverdi (gjennomsnittsverdi): \overline{x} = \frac{1}{N} ∑_{i=1}^{N} x_{i}

Standardavvik (feil i enkeltmåling): δ_{x} = \sqrt{(\frac{1}{N − 1} ∑_{i=1}^{N} (x_{i} − \overline{x})^{2})}

Standardfeil (feil i middelverdi): δ\overline{x} = δ_{x}/\sqrt{N}