TFY4104 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten 2013. Løsningsforslag til øving 13.

Oppgave 1

a) Sløyfas magnetiske dipolmoment:

m = IA n̂ = Ia^{2} n̂

Sløyfa består av 4 rette ledere med lengde a, der to og to har strømmen gående i motsatt retning. Dermed blir den magnetiske kraften

F = I ∫ dl × B = IL × B

motsatt rettet, men like stor i absoluttverdi, for slike par av rette lederbiter. Den totale kraften på sløyfa blir dermed null. Noen detaljer er inkludert i figuren:

Vi ser av figuren at kreftene fra magnetfeltet ville ha deformert strømsløyfa dersom det hadde vært en mulighet. For ei makroskopisk strømsløyfe er dette som regel en neglisjerbar effekt, men dersom strømsløyfa er en klassisk modell av et elektron i bane rundt en atomkjerne, aner vi at i tillegg til en innretting av strømsløyfa (som vi skal se på i resten av denne oppgaven), vil magnetfeltet påvirke selve banebevegelsen til elektronet rundt kjernen. Med andre ord: Atomets magnetiske moment endres både i retning og i absoluttverdi. Førstnevnte effekt er paramagnetisme, sistnevnte effekt er diamagnetisme. Her konsentrerer vi oss om orienteringen av m.

b) Av figuren over ser vi at de to strømmene som går parallelt med xz-planet påvirkes av krefter i hhv positiv og negativ y-retning. Disse kreftene vil da ikke bidra til dreiemomentet omkring y-aksen. Kreftene som virker på strømmene som går parallelt med y-aksen gir tilsammen et dreiemoment (se figuren nedenfor og ovenfor)

τ = ∑ r × F
= −r_{1}F_{1} sin θ ŷ − r_{2}F_{2} sin θ ŷ

= −2 · \frac{a}{2} · IaB sin θ ŷ
= −Ia^{2} · B sin θ ŷ
= −m · B sin θ ŷ
= m × B

Skiftet av fortegn i siste linje skyldes av vi hadde valgt positiv vinkel θ mellom z-aksen og n̂, altså mellom B og m. Kryssproduktet m × B er, pr definisjon, m ganger B ganger sinus til vinkelen mellom m og B, dvs mB sin(−θ) = −mB sin θ.

c) I øving 9 hadde vi en generell sammenheng mellom dreiemoment τ og tilhørende potensiell energi U, nemlig at en rotasjon gjennom en vinkel dα under påvirkning av et dreiemoment τ resulterer i en endring dU i potensiell energi gitt ved

dU = −τ dα

Denne sammenhengen er ikke avhengig av hvilken type krefter og dreiemoment det handler om, og må derfor gjelde like bra for vår magnetiske dipol i et magnetfelt som for den elektriske dipolen i et elektrisk felt i øving 9. Følgelig:

U(θ) = ∫_{θ_{0}}^{θ} dU
= − ∫_{θ_{0}}^{θ} τ(α) dα
= mB ∫_{θ_{0}}^{θ} sin α dα
= mB (cos θ_{0} − cos θ)
= −mB cos θ
= −m · B

Her valgte jeg å sette U(0) = −mB, dvs θ_{0} = π/2.

Skisse:

Vi har minimal U, og følgelig stabil likevekt for θ = 0, dvs for dipolen orientert slik at m er parallell med B. Vi har maksimal U, og følgelig ustabil likevekt for θ = ±π, dvs for dipolen orientert slik at m er parallell med −B. Dette er magnetismens analogi til polarisering av dielektriske medier i et ytre elektrisk felt: Magnetiske dipoler retter seg inn langs det påtrykte magnetfeltet. Som nevnt lenger opp, dette er hva vi kaller paramagnetisme. Vi har snakket om ulike typer magnetisme i forelesningene – her er en liten oppsummering: Medier som består av atomer/molekyler som har et permanent atomært magnetisk dipolmoment som ikke er lik null, og der dipolmomentene på atomer i nærheten av hverandre ikke vekselvirker med hverandre, er paramagneter. Uten et ytre magnetfelt vil de atomære magnetiske dipolmomentene peke i tilfeldige retninger, slik at den midlere magnetiseringen, dvs midlere magnetiske dipolmoment pr volumenhet, blir lik null overalt i mediet. Slik var det også med midlere polarisering i et dielektrikum når vi ikke hadde noe ytre elektrisk felt. Med et ytre magnetfelt får vi en tendens til innretting av magnetiske dipolmoment langs det ytre feltet, og dermed en midlere magnetisering forskjellig fra null. Eksempler på paramagnetiske materialer er aluminium (Al) og magnesium (Mg). Paramagnetisme er en svak effekt, med magnetisk susceptibilitet av størrelsesorden 10^{−4} eller deromkring. Medier som består av atomer med atomært magnetisk dipolmoment lik null har ingenting å rette inn i et påtrykt magnetfelt. Men, og som nevnt lenger opp, banebevegelsen til elektronene rundt atomkjernen vil påvirkes av et ytre magnetfelt, slik at vi får indusert et atomært magnetisk dipolmoment i hvert eneste atom. Slike medier er diamagneter. Vi ser kvalitativt på denne effekten i neste oppgave, og vil finne at det induserte magnetiske dipolmomentet blir motsatt rettet det ytre feltet. Diamagnetisme er en mye svakere effekt enn paramagnetisme, med magnetisk susceptibilitet av størrelsesorden −10^{−5}. Også i paramagneter, der vi har permanente atomære magnetiske dipolmoment, får vi en slik diamagnetisk ”respons” i et ytre magnetfelt. Den diamagnetiske responsen vil imidlertid overskygges av den paramagnetiske effekten i en paramagnet. For å kunne måle diamagnetisme, trenger vi derfor medier med null atomært magnetisk dipolmoment i utgangspunktet (dvs før vi skrur på det ytre magnetfeltet). Eksempler på diamagneter er gull (Au), sølv (Ag), kobber (Cu). I enkelte medier har vi atomer med magnetiske dipolmoment som vekselvirker med dipolmomentene på naboatomene. F.eks. kan vekselvirkningen være slik at det er energetisk foretrukket at naboatomer har sine magnetiske dipolmoment i samme retning. Da har vi en ferromagnet, og eksempler på ferromagneter er jern (Fe), kobolt (Co) og nikkel (Ni). Ferromagnetisme er en mye sterkere effekt enn paramagnetisme, med magnetisk susceptibilitet av størrelsesorden 10^{3} til 10^{4}. Alternativt kan vekselvirkningen være slik at det er energetisk foretrukket at naboatomer har sine magnetiske dipolmoment i motsatt retning. Da har vi en antiferromagnet. Eksempler på antiferromagneter er Cr (krom) og NiO (nikkeloksyd). Ved tilstrekkelig høy temperatur blir den ordnede strukturen av magnetiske dipoler ødelagt av ”termiske bevegelser”, og ferromagneten/antiferromagneten blir en paramagnet.

Oppgave 2

a) Sentripetalakselerasjonen er v_{0}^{2}/R mens Coulombkraften er e^{2}/4πε_{0}R^{2}. Newtons 2. lov gir da

m_{e} \frac{v_{0}^{2}}{R} = \frac{e^{2}}{4πε_{0}R^{2}} ⇒ R = \frac{e^{2}}{4πε_{0}m_{e}v_{0}^{2}}

Atomets magnetiske dipolmoment blir dermed

m_{0} = IA = −\frac{e}{2πR/v_{0}} · πR^{2} ẑ = −\frac{1}{2}ev_{0}R ẑ.

b) Den valgte retningen på B fører til at den magnetiske kraften F_{m} = −e v × B blir rettet innover mot kjernen, dvs i samme retning som den tiltrekkende Coulombkraften. Med uendret baneradius R bestemmes dermed hastigheten v av ligningen

m_{e} \frac{v^{2}}{R} = \frac{e^{2}}{4πε_{0}R^{2}} + evB.

Dette er en annengradsligning for v,

v^{2} − \frac{eBR}{m_{e}} v − \frac{e^{2}}{4πε_{0}m_{e}R} = 0,

med løsning

v = \frac{eBR}{2m_{e}} + \sqrt{\frac{e^{2}}{4πε_{0}m_{e}R} + (\frac{eBR}{2m_{e}})^{2}}

(Løsningen med negativt fortegn foran kvadratroten er negativ og ikke aktuell.) La oss gå tilbake og se på hastigheten uten magnetfelt:

v_{0} = \sqrt{\frac{e^{2}}{4πε_{0}m_{e}R}}

Vi ser umiddelbart at v > v_{0}. Det betyr at det magnetiske dipolmomentet

m = −\frac{1}{2}evR ẑ

er større enn før vi skrudde på magnetfeltet. Med andre ord, endringen

Δm = m − m_{0}

er motsatt rettet det ytre magnetfeltet. Hvis magnetfeltet i stedet var rettet nedover, B = −B ẑ, ville den magnetiske kraften bli rettet radielt utover, dvs i motsatt retning av Coulombkraften, slik at tilleggsleddet evB i bevegelsesligningen ville komme inn med motsatt fortegn. Dermed ville den nye hastigheten v ha blitt mindre enn v_{0}, og det magnetiske dipolmomentet også mindre enn før vi skrudde på magnetfeltet. Igjen: Endringen i magnetisk dipolmoment ville fremdeles ha vært motsatt rettet det ytre feltet. Konklusjon: Et ytre magnetfelt påvirker elektronets banebevegelse i atomet på en slik måte at det induserte magnetiske dipolmomentet, dvs det magnetiske dipolmomentet knyttet til endringen i banebevegelsen, blir motsatt rettet det påtrykte feltet. Altså diamagnetisme.

Oppgave 3

a) B. N viklinger omslutter en magnetisk fluks, som er proporsjonal med N, dvs i alt en total omsluttet magnetisk fluks proporsjonal med N^{2}.

b) B. Magnetisk energitetthet er B^{2}/2μ_{0}, og magnetfeltet kan regnes som omtrent konstant og lik μ_{0}nI i hele volumet A · l. Her er A spolens tverrsnitt, l den lengde, og n = N/l dens viklingstetthet. Innsetting av oppgitte tallverdier gir, med μ_{0} = 4π · 10^{−7}, ca 3.6 mJ. Siden det faktiske magnetfeltet nok er noe svakere ut mot spolens ender, sier vi ca 3 mJ.

c) D. Kirchhoffs spenningsregel (”K2”) gir

V_{0} cos ωt = Q/C,

slik at

I = dQ/dt = −V_{0}ωC sin ωt.

Strømmen har derfor amplitude V_{0}ωC. Strømamplituden øker altså lineært med frekvensen til den påtrykte spenningen. Likespenning, ω = 0, gir null strøm, som forventet – ingen strøm gjennom en ideell kondensator.

d) B. K2 gir

V_{0} cos ωt = LdI/dt,

dvs

I = (V_{0}/ωL) sin ωt.

Strømmen har derfor amplitude V_{0}/ωL. Strømamplituden avtar altså med frekvensen til den påtrykte spenningen. Likespenning, ω = 0, gir uendelig strøm, som forventet – en induktans er ganske enkelt en kortslutning dersom strømmen gjennom den ikke endrer seg.

e) B. Ohms lov.

f) B. Noen navn må vi kjenne til!