TFY4104 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten 2013. Øving 3. Veiledning: 6. september. Innleveringsfrist: 11. september kl 14.

\underline{Oppgave 1.}

ϕ S/g (g) μ
0  185
π/2  240
π  300
3π/2  440
2π  600
5π/2  800
3π  1000
7π/2  1100
4π  1400

Tabell: Maksimal snorkraft S med lodd i likevekt, med snor surret en vinkel ϕ rundt plastrøret.

Innledning: I forelesningene viste vi, både eksperimentelt og ved hjelp av regning, hvordan surring av ei snor rundt en sylinder resulterer i en friksjonskraft som kan hjelpe oss å holde tunge gjenstander oppe. I figuren til venstre er S(ϕ) minste påkrevde snordrag for å holde massen m i ro når hyssingen har kontakt med sylinderen over en vinkel ϕ,

S(ϕ) = S(0) exp(−μϕ),

eventuelt det maksimale snordraget som kan brukes uten at massen trekkes oppover,

S(ϕ) = S(0) exp(μϕ).

Målinger av sistnevnte variant, utført på faglærers kontor fredag 14.09.2012 med enkle fjærvekter og lodd med masse m = 185 g, gav resultatene i tabellen til venstre. Du skal bruke disse måleresultatene til å bestemme den statiske friksjonskoeffisienten μ mellom snora og plastrøret. Vi antar at feilen i m, dvs S(0), er neglisjerbar, og at feil i S og ϕ, og dermed μ, er tilfeldige. Nedenfor følger selve oppgaven.

Basert på de n = 8 målepunktene i tabellen, bestem middelverdien av friksjonskoeffisienten,

\overline{μ} = \frac{1}{n} ∑_{i=1}^{n} μ_{i},

et estimat for usikkerheten i en enkeltmåling av μ (det såkalte standardavviket),

Δμ = \sqrt{\frac{1}{n − 1} ∑_{i=1}^{n} (μ_{i} − \overline{μ})^{2}},

og et estimat for usikkerheten i middelverdien (den såkalte standardfeilen),

Δ\overline{μ} = \frac{Δμ}{\sqrt{n}}.

Angi deretter μ med middelverdi og usikkerhet (standardfeil), dvs på formen

μ = \overline{μ} ± Δ\overline{μ}.

Til slutt plotter du de eksperimentelle målepunktene for størrelsen ln[S(ϕ)/S(0)] sammen med de tre rette linjene μϕ, for μ = \overline{μ} samt μ = \overline{μ}±Δμ. Er andelen målepunkter som ligger innenfor [\overline{μ}−Δμ, \overline{μ}+Δμ] omtrent som forventet? Bruk gjerne digitale hjelpemidler (matlab, python, excel e.l.) til å løse denne oppgaven!

\underline{Oppgave 2.}

En kloss med masse 1.00 kg holdes i ro på et skråplan med helningsvinkel 30^{∘}. Den statiske friksjonskoeffisienten er μ_{s} = 0.43, og den kinetiske friksjonskoeffisienten er μ_{k} = 0.40.

\underline{a.} Klossen slippes. Hvor stor er da friksjonskraften som virker på klossen? Hva blir klossens akselerasjon?

\underline{b.} Vi lar nå klossen bli påvirket av en tilleggskraft F = 1.00 N, rettet oppover langs skråplanet. Hva blir nå friksjonskraften på klossen og klossens akselerasjon når den slippes? (Tilleggskraften virker uendret både før og etter klossen slippes.)

\underline{c.} Vi gjentar eksperimentet, men nå med tilleggskraften F = 2.00 N oppover langs skråplanet. Finn igjen friksjonskraften på klossen og klossens akselerasjon når den slippes.

\underline{Oppgave 3.}

En kloss med masse m er festet til ei (masseløs) fjær med fjærkonstant k. Fjæra er festet til en vegg i sin venstre ende. Klossen kan gli uten friksjon på et horisontalt underlag. Bevegelsen blir startet (ved t = 0) ved å dra klossen fra likevektsposisjonen x = 0 mot høyre til posisjon x_{0} og gi den en hastighet v_{0} mot høyre. Klossen utfører deretter harmoniske svingninger beskrevet ved x(t) = A cos(ωt + ϕ) der ω = 2π/T er vinkelfrekvensen, T er perioden, og ϕ er en fasekonstant.

\underline{a.} Finn uttrykk for ω, ϕ og amplituden A. (Dvs, uttrykt ved størrelser oppgitt innledningsvis. Det er mer enn en måte å uttrykke disse størrelsene på.)

\underline{b.} Finn et uttrykk for systemets totale energi E.

\underline{c.} Vi kunne alternativt ha skrevet løsningen på formen x(t) = B cos ωt + C sin ωt. Hva blir da de to koeffisientene B og C?

\underline{d.} Bestem tallverdier for svingebevegelsens maksimale utsving og maksimale hastighet dersom m = 100 g, k = 10 N/m, x_{0} = 1.0 cm og v_{0} = 10 cm/s.

\underline{Oppgave 4.}

Systemet i oppgave 3 dreies 90 grader slik at massen m henger vertikalt i tyngdefeltet. Ny likevektsposisjon for klossen tilsvarer at fjæra er strukket en lengde Δx. Finn et uttrykk for Δx. (Tyngdens akselerasjon: g = 9.8 m/s^{2}) Bestem også tallverdi for Δx. Skriv ned bevegelsesligningen for klossen, og vis at den vil svinge harmonisk med samme frekvens som før.

Noen fasitsvar:

Oppgave 1: 0.172 ± 0.005.

Oppgave 2: a) 3.4 N, 1.51 m/s^{2}, b) 0.51 m/s^{2}, c) 2.91 N.

Oppgave 3: d) 1.4 cm, 14 cm/s.

Oppgave 4: 9.8 cm.