TFY4104 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten 2015. Numerisk øving med obligatorisk innlevering på itslearning. Veiledning: 12. - 30. oktober. Innleveringsfrist: 1. november kl 23.59.

Matematisk pendel

Figuren til venstre viser en matematisk pendel, bestående av ei kule (punktmasse) med masse m i enden av ei masseløs stang med lengde L. Stanga kan svinge omkring festepunktet (A), slik at kula følger en sirkelbane med radius L. Dersom kula svinger fritt, uten å påvirkes av andre ytre krefter enn tyngdekraften og ”stangdraget”, er bevegelsen bestemt av ligningen

\frac{d^{2}θ}{dt^{2}} + \frac{g}{L} sin θ = 0.

(N2 tangentielt til sirkelbanen. Vi har brukt sammenhengen mellom hastighet og vinkelhastighet ved sirkelbevegelse.)

For små utsving fra likevekt, |θ| ≪ 1, kan sin θ erstattes med θ, og vi har en enkel harmonisk oscillator, med kjent løsning, og med vinkelfrekvens (”egenfrekvens”) ω_{0} = \sqrt{g/L}. Men for større utsving fra likevekt må vi beholde sin θ, og da kan ligningen ovenfor ikke løses analytisk. Numerisk er det imidlertid ingen problemer! En enkel og intuitiv numerisk måte å bestemme θ(t) på er den såkalte Euler-metoden. N2 kan skrives på formen

dv = a dt = \frac{F}{m} dt.

Det betyr at hastigheten ved tidspunktet t+dt kan bestemmes dersom vi kjenner hastigheten ved tidspunktet t:

v(t + dt) = v(t) + a dt = v(t) + dv = v(t) + \frac{F}{m} dt.

Med et endelig tidssteg Δt blir ligningen

v(t + Δt) = v(t) + Δv = v(t) + \frac{F (t)}{m} Δt

bare tilnærmet riktig, men formodentlig en riktig god tilnærmelse dersom Δt velges tilstrekkelig liten. Samme oppskrift kan vi i neste omgang bruke for å bestemme posisjonen, eller som her, vinkelen θ(t). Vi har v = ds/dt = L dθ/dt, dvs

dθ = \frac{v}{L} dt,

og med endelig tidssteg gir dette

θ(t + Δt) = θ(t) + Δθ = θ(t) + \frac{v(t)}{L} Δt.

Hvis vi nå, som her, kjenner θ(t = 0) og v(t = 0), dvs θ(0) = θ_{0} og v(0) = v_{0}, kan ligningene over brukes til å finne θ(Δt) og v(Δt), deretter θ(2Δt) og v(2Δt) osv. I vårt konkrete tilfelle er det tyngdens tangentialkomponent som bestemmer akselerasjonen, og dermed hastigheten tangentielt,

a = \frac{F}{m} = −g sin θ.

Oppgaver:

• Lag et program i Matlab eller Python som beregner θ(t).

• La pendelen ha lengde 1.00 m. Tyngdens akselerasjon er 9.81 m/s^{2}.

• Kjør programmet med startvinkel θ_{0} = 0, og med tre ulike verdier for starthastigheten v_{0}: (A) Med tilstrekkelig liten v_{0} til at pendelen med god tilnærmelse utfører harmoniske svingninger med vinkelfrekvens \sqrt{g/L}. (B) Med v_{0} slik at pendelen svinger nesten helt opp til toppen av sirkelbanen. Hvor lang periode T klarer du å lage? (C) Med tilstrekkelig stor v_{0} til at pendelen passerer toppen av sirkelbanen, gjerne med god margin.

• For hvert av de tre tilfellene (A), (B) og (C), lag en figur der vinkelen θ plottes, i enheten grader, som funksjon av tiden t i intervallet fra t = 0 til t = 2T. Perioden T vil være forskjellig i de tre tilfellene. Figurene skal ha tekst på aksene, ’t (s)’ for horisontal akse og ’θ (grader)’ for vertikal akse. Figurene lagres som PDF-filer, med navn brukernavn_FIGA.pdf osv, evt samlet i en PDF-fil. Verdien du har brukt for starthastigheten v_{0} kan angis som tittel på den aktuelle grafen.

• For minst ett av de tre tilfellene (A), (B), (C), sjekk i hvilken grad mekanisk energi (pr masseenhet) E/m = (K+U)/m er bevart, ved å regne den ut og plotte den som funksjon av t i programmet. Figuren skal ha teksten ’E/m (m^{2}/s^{2})’ på vertikal akse og ’t (s)’ på horisontal akse. Figuren lagres med navn brukernavn_FIGD.pdf. Angi med figurtittel for hvilket av de tre tilfellene energien pr masseenhet plottes.

Frivillige ekstraoppgaver:

• Utvid programmet ditt slik at du kan studere en dempet fri svingning. Anta at friksjonskraften (luftmotstanden) er proporsjonal med hastigheten.

• Utvid programmet ditt slik at du kan studere en tvungen dempet svingning, med samme type friksjon som i forrige punkt. La den ytre kraften variere harmonisk med tiden, og studer fenomenet resonans.