TFY4104 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten 2015. Løsningsforslag til øving 12.

Oppgave 1

I det første eksperimentet er B = 0. Da er Newtons 2. lov

F = ma = qE
⇒ \frac{dv}{dt} = \frac{q}{m}E
⇒ v(t) = v(0) + \frac{q}{m}Et = \frac{dr}{dt}
⇒ r(t) = r(0) + v(0)t + \frac{q}{2m}Et^{2}

Her er det naturlig å velge t = 0 idet partikkelen entrer området med E ≠ 0, og dessuten velge origo i denne posisjonen:

r(0) = (x_{0}, y_{0}) = (0, 0)

Her er hastigheten

v(0) = v x̂

når vi legger x-aksen mot høyre. y-aksen legger vi oppover, slik at

E = −E ŷ

(dvs med E > 0) Partikkelbanen inne i feltet blir altså en parabel, akkurat som når vi kaster en masse i tyngdefeltet. Hastigheten i x-retning påvirkes ikke slik at

x(t) = vt

mens partikkelen får en konstant akselerasjon i y-retning, dvs forflytningen i y-retning som funksjon av t må være bestemt ved

y(t) = −\frac{q}{2m}Et^{2}

Partikkelen vil forlate området der E ≠ 0 ved tidspunktet

t_{L} = \frac{x(t_{L})}{v} = \frac{L}{v}

Vertikalposisjonen er da

y(t_{L}) = −\frac{q}{2m}E \frac{L^{2}}{v^{2}}

Allerede nå kan vi konkludere med at q < 0 dersom y(t_{L}) > 0. Distansen fra x = L til x = L + D tilbakelegges deretter uten påvirkning av noen krefter, med retning i forhold til x-aksen gitt ved vinkelen α, der

tan α = \frac{v_{y}(t_{L})}{v_{x}(t_{L})} = \frac{−(q/m)E(L/v)}{v} = −\frac{qEL}{mv^{2}}

Vi må dessuten ha

tan α = \frac{y − y(t_{L})}{D}

der y er treffpunktet på detektoren, ved x = L + D.

Eksperimentet gjentas nå med samme E-felt, men vi skrur nå på et magnetfelt B med retning inn i planet inntil partiklene ikke avbøyes av feltene. Det må bety at den elektriske krafta (oppover) akkurat balanseres av en magnetisk kraft (nedover). Altså:

F = qE + qv × B = 0
⇒ E = vB
⇒ \frac{1}{v} = \frac{B}{E}

Dermed:

\frac{y − y(t_{L})}{D} = −\frac{qEL}{mv^{2}} = −\frac{qEL}{m} · \frac{B^{2}}{E^{2}}
⇒ y + \frac{q}{2m}EL^{2} \frac{B^{2}}{E^{2}} = −\frac{qEL}{m} · \frac{B^{2}}{E^{2}} D
⇒ yE = −\frac{q}{m} · B^{2} (DL + \frac{1}{2}L^{2})
⇒ \frac{q}{m} = −\frac{yE}{B^{2} (DL + \frac{1}{2}L^{2})}

Dvs,

a = \frac{E}{B^{2} (DL + L^{2}/2)}

Oppgave 2

Ionenes hastighet når de kommer inn i magnetfeltet er gitt ved at endringen i potensiell energi gjennom spenningsforskjellen V tilsvarer endringen i ionenes kinetiske energi:

eV = \frac{1}{2}mv^{2} ⇒ v = \sqrt{\frac{2eV}{m}}

Sentripetalakselerasjonen inne i magnetfeltet er

a = \frac{v^{2}}{r}

slik at Newtons 2. lov gir

F = m\frac{v^{2}}{r} = evB ⇒ r = \frac{mv}{eB}

Baneradius for en partikkel med masse m blir

r = \frac{1}{B} \sqrt{\frac{2V m}{e}}

altså proporsjonal med \sqrt{m}. Baneradier og masser for de ulike isotopene må altså forholde seg til hverandre på følgende vis:

\frac{r_{i}}{r_{j}} = \sqrt{\frac{m_{i}}{m_{j}}}

der i, j = 79 eller 81. Dersom ionenes treffpunkt på den fotografiske platen skal være adskilt med (minst) en avstand a = 1.0 cm, må forskjellen i banenes diameter være 1.0 cm. Vi får:

a = 1.0 cm = 2(r_{81} − r_{79}) = 2r_{79} (\sqrt{\frac{m_{81}}{m_{79}}} − 1)

Det gir

r_{79} = \frac{a}{2} (\sqrt{\frac{m_{81}}{m_{79}}} − 1)^{−1} = 0.5 cm · (\sqrt{\frac{81}{79}} − 1)^{−1} ≃ 39.7 cm

og

r_{81} = r_{79} + \frac{a}{2} ≃ 40.2 cm

Vi kan nå bestemme hvor sterkt magnetfelt som kan brukes for å få disse baneradiene:

B = \frac{1}{r_{81}} \sqrt{\frac{2V m_{81}}{e}} = \frac{1}{0.402} · \sqrt{\frac{2 · 400 · 81 · 1.67 · 10^{−27}}{1.6 · 10^{−19}}} = 0.065 T

Dette representerer øvre grense for B: Et sterkere magnetfelt vil redusere både r_{79} og r_{81}, men r_{81} mest, slik at treffpunktene kommer nærmere hverandre. Samtidig skal ikke d_{81} = 2r_{81} overstige instrumentets fysiske begrensning gitt ved L = 250 cm. Det tilsvarer en minsteverdi på magnetfeltstyrken:

B_{min} = \frac{1}{L/2}\sqrt{\frac{2V m_{81}}{e}} = \frac{1}{1.25} · \sqrt{\frac{2 · 400 · 81 · 1.67 · 10^{−27}}{1.6 · 10^{−19}}} = 0.021 T

Vi kan med andre ord benytte et magnetfelt i området 21 til 65 mT.

Oppgave 3

I stor avstand fra strømsløyfa kan vi sette

x^{2} + R^{2} ≃ x^{2}

Dermed blir magnetfeltet tilnærmet lik

B(x) ≃ \frac{μ_{0}IR^{2}}{2x^{3}} .

Strømsløyfas magnetiske dipolmoment er

m = IA = I · πR^{2},

så vi kan skrive dette magnetfeltet på formen

B(x) = \frac{μ_{0}m}{2πx^{3}} .

Det er vel verdt å sammenligne dette resultatet med det elektriske feltet på aksen til en elektrisk dipol, i stor avstand x fra dipolen:

E(x) = \frac{p}{2πε_{0}x^{3}} ,

der p er dipolens elektriske dipolmoment. Altså nøyaktig samme resultat, med m istedetfor p og μ_{0} istedetfor 1/ε_{0}. Det er mange analogier mellom elektrostatikk og magnetostatikk!

Oppgave 4

1) F = IL × B, slik at kraftparet nummerert med 1 blir korrekt. A.

2) Magnetisk kraft og elektrisk kraft vil her virke i motsatt retning, enten partiklene har negativ eller positiv ladning. A og B kan dermed ikke være riktige. Med null kraft totalt (ingen avbøyning) er qE = qvB, dvs v = E/B = 10^{4}/50 · 10^{−3} = 2 · 10^{5} m/s = 200 km/s. D.

3) Elektronets hastighet er (i absoluttverdi) v = \sqrt{v_{0}^{2} + v_{0}^{2}} = \sqrt{2}v_{0}. Sirkelbanens radius blir derfor r = mv/qB_{0} = \sqrt{2}m_{e}v_{0}/eB_{0}. B.

4) B = μ_{0}nI = 4π · 10^{−7} · (2000/0.3142) · 2 T = 16 mT. B.

5) En regulær sekskant med sidekanter 1 cm har areal 1.5 · \sqrt{3} ≃ 2.6 cm^{2}, som multiplisert med en strøm 1.0 A gir magnetisk dipolmoment 2.6 A cm^{2}. C.