TFY4104 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten 2016. Øving 8.

Oppgave 1

a) Figuren viser feltlinjer for et uniformt elektrisk felt. Et elektron som plasseres i dette feltet vil

A bevege seg med konstant hastighet mot venstre.
B bevege seg med konstant hastighet mot høyre.
C akselereres mot venstre.
D akselereres mot høyre.

b) To positive og to negative punktladninger, alle fire like store i absoluttverdi (q), skal plasseres i hvert sitt hjørne av et kvadrat. På hvilken måte skal punktladningene plasseres for å oppnå størst mulig elektrisk feltstyrke (dvs E = |E|) midt på høyre sidekant, i punktet P?

A 1
B 2
C 3
D 4

Oppgave 2

a) To punktladninger 3q og −q er plassert på x-aksen i henholdsvis x = 0 og x = a. Forklar hvorfor mulige likevektsposisjoner for en tredje ladning q må være på x-aksen.

b) Det er en likevektsposisjon x_{0} på x-aksen for denne tredje ladningen. Bestem x_{0}. Begrunn, uten ytterligere regning, at denne likevekten er ustabil med hensyn på en liten forflytning i x-retning. (Alternativt, med ytterligere regning: Vurder stabiliteten av likevekten ved å se på dF/dx i x = x_{0}.)

Oppgave 3

[I likevekt virker det ingen netto kraft på ladningen. Når den forskyves en avstand Δx fra likevektsposisjonen, vil den påvirkes av en kraft. Dersom denne kraften virker i samme retning som Δx, er likevekten ustabil, i motsatt fall stabil.] En tynn stav med lengde L har uniform ladning λ pr lengdeenhet.

a) Hvor mye ladning dq er det på en liten lengde dx av staven? Hva er stavens totale ladning Q?

b) Vi legger staven på x-aksen, slik at punktet P har koordinater (x, y) = (0, R). Vis at det elektriske feltet i P, dvs i avstand R fra staven, er gitt ved E = E_{x}x̂ + E_{y}ŷ, med

E_{x} = \frac{λ}{4πε_{0}R}(cos θ_{1} − cos θ_{2}) E_{y} = \frac{λ}{4πε_{0}R}(sin θ_{1} − sin θ_{2}).

Her er θ_{1} og θ_{2} vinklene som dannes mellom linjene fra P til stavens endepunkter og normalen til staven gjennom P (dvs y-aksen), som vist i figuren. (Fortegnet til vinklene er som indikert i figuren, dvs θ er negativ når x < 0).

[Tips: Feltet dE fra en liten bit dx av staven (i posisjon x) er dE = (λ dx/4πε_{0}r^{2})r̂, der r er avstandsvektoren fra biten dx til punktet P. Prøv deretter å ende opp med θ som integrasjonsvariabel ved å finne en sammenheng mellom x og θ.]

c) Bestem feltet når P er like langt fra stavens to ender. Hva blir E når P er langt unna staven (dvs R ≫ L). NB: Her er vi ikke ute etter (det i og for seg korrekte) svaret E ≃ 0 for R → ∞, men derimot hvordan E avhenger av R ”til ledende orden” for R ≫ L. Er svaret som forventet?

d) Hva blir det elektriske feltet i avstand R fra en uendelig lang uniformt ladet stav? (Dvs: L → ∞)

Ei tynn, sirkelforma skive med radius R_{0} har uniform ladning σ pr flateenhet.

a) Hvor mye ladning dq er det på en tynn ring av skiva, med radius R og bredde dR? Hva er skivas totale ladning Q?

b) Bestem det elektriske feltet E i et punkt P på symmetriaksen i en avstand a fra skiva. (Tips: Bruk eksemplet fra forelesningene til først å finne feltet dE i P fra en tynn ring med radius R og bredde dR. Integrer deretter fra R = 0 til R = R_{0}.)

c) Hva blir E (igjen: til ledende orden, jfr forrige oppgave) i de to tilfellene a ≫ R_{0} og a ≪ R_{0}, dvs henholdsvis langt unna og nært inntil skiva?

Oppgitt: (1 + α)^{±1/2} ≃ 1 ± α/2 dersom α ≪ 1. (Dette er rett og slett de to første leddene i en polynomutvikling (”rekkeutvikling”) av funksjonene f(α) = (1 + α)^{±1/2} om punktet α = 0.)

Fasitsvar:

Oppgave 2b: x_{0} = (3 + \sqrt{3})a/2.

Oppgave 4b: E = \frac{σ}{2ε_{0}} (1 − _{\frac{a}{\sqrt{a^{2}+R_{0}^{2}}}} )