TFY4104 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten 2015. Løsningsforslag til Test 12.

Oppgave 1 Tyngdekraften har komponent mg sin α nedover parallelt med skråplanet. Normalkraften fra underlaget er lik tyngdekraftens normalkomponent mg cos α, siden det ikke er noen akselerasjon normalt på skråplanet. Når klossen glir, er det kinetisk friksjon, med friksjonskraft f = μN = μmg cos α. Med konstant hastighet er f = mg sin α, dvs μ = tan α. Riktig svar: D.

Oppgave 2 Klossen starter med mekanisk energi

E = mgh + mv_{0}^{2}/2 = mgL sin α + mv_{0}^{2}/2.

Den har mistet all denne mekaniske energien, dvs E tilsvarer friksjonsarbeidet

W_{f} = fL = μmgL cos α.

Dermed er

μ = E/mgL cos α = tan α + v_{0}^{2}/2gL cos α.

Riktig svar: E.

Oppgave 3 Total impuls er bevart i kollisjonen: mv_{0} = 2mv, dvs v = v_{0}/2. Riktig svar: A.

Oppgave 4 |ΔK| = mv_{0}^{2}/2 − 2mv^{2}/2 = mv_{0}^{2}/2 − mv_{0}^{2}/4 = mv_{0}^{2}/4. Riktig svar: C.

Oppgave 5 De to massene snur i høyden h = L(1 − cos β). Der er potensiell energi lik 2mgh og kinetisk energi null. Energibevarelse etter at kollisjonen er over gir da

mv_{0}^{2}/4 = mgh = mgL(1 − cos β) ⇒ β = arccos(1 − v_{0}^{2}/8gL).

Riktig svar: B.

Oppgave 6 Matematisk pendel med lengde L og små utsving: ω_{0} = \sqrt{g/L}, dvs T = 2π/ω_{0} = 2π\sqrt{L/g}. Riktig svar: A.

Oppgave 7 De fire punktmassene er alle i avstand d fra aksen, med d^{2} = (a/2)^{2} + (a/2)^{2} = a^{2}/2. Dermed er I_{0} = 4ma^{2}/2 = 2ma^{2}. Riktig svar: B.

Oppgave 8 Steiners sats, med en parallellforskyvning av aksen en lengde a/2, gir I_{1} = I_{0} + 4m(a/2)^{2} = 2ma^{2} + ma^{2} = 3ma^{2}. Riktig svar: C.

Oppgave 9 Steiners sats, med en parallellforskyvning av aksen en lengde a/\sqrt{2}, gir I_{2} = I_{0} + 4m(a/\sqrt{2})^{2} = 2ma^{2} + 2ma^{2} = 4ma^{2}. Riktig svar: D.

Oppgave 10 Energibevarelse gir

mgh = mv^{2}/2 + MV^{2}/2 = mv_{x}^{2}/2 + mv_{y}^{2}/2 + MV^{2}/2,

og impulsbevarelse horisontalt gir

mv_{x} = MV.

En tredje ligning får vi ved å bruke at m hele veien ned befinner seg på skråplanet, slik at en forflytning av m med dx horisontalt og en forflytning av M motsatt vei med dX må innebære en vertikal forflytning av m med dy = dx + dX (der alle størrelser regnes positive). Divisjon med dt gir v_{y} = v_{x} + V. Nå har vi 3 ligninger for 3 ukjente (v_{x}, v_{y} og V), og løsning mhp V gir

V = \sqrt{2gh\frac{1}{(1 + M/m)(1 + 2M/m)}}.

Riktig svar: C.

Oppgave 11 Tilsvarende som i oppgave 10, men nå har m (ringen) kinetisk energi

K_{m} = mv^{2}/2 + I_{0}ω^{2}/2 = mv^{2}/2 + (mr^{2})(v/r)^{2}/2 = mv^{2}/2 + mv^{2}/2 = mv^{2}.

Energibevarelse gir da

mgh = mv_{x}^{2} + mv_{y}^{2} + MV^{2}/2.

Ellers likt, slik at svaret blir

V = \sqrt{gh\frac{1}{1 + 5M/2m + 2M^{2}/m^{2}}} .

Riktig svar: D.

Oppgave 12 Elektrisk feltstyrke mellom platene: E = σ/ε_{0} = Q/Aε_{0}. Kondensatorens dipolmoment: p = Qd. Dermed er p = ε_{0}EAd, slik at p/Ad = p/V = ε_{0}E (der V = Ad er volumet mellom platene). Riktig svar: E.

Oppgave 13 Avstanden mellom −2Q og hver av de to Q er d. Avstanden mellom de to Q er 2d sin α/2. Total potensiell energi er da

U = \frac{Q^{2}}{4πε_{0} · 2d sin α/2} − 2 · \frac{2Q^{2}}{4πε_{0}d} = \frac{Q^{2}}{4πε_{0}d} (\frac{1}{2 sin α/2} − 4) ,

slik at U < 0 dersom 2 sin α/2 > 1/4, dvs α > 2 arcsin(1/8) ≃ 14^{∘}. Riktig svar: B.

Oppgave 14

E(z) = −\frac{dV}{dz} = −\frac{σ}{2ε_{0}} (\frac{z}{\sqrt{R^{2} + z^{2}}} − 1) ,

slik at E(0) = σ/2ε_{0}. Riktig svar: D.

Oppgave 15 Det elektriske feltet er null overalt inne i hulrommet og overalt inne i metallet (se forelesningene). Det betyr at hele volumet innenfor r = 2R er et ekvipotensial. Dermed: E_{1} = E_{2} = 0 og V_{1} = V_{2}. Riktig svar: A.

Oppgave 16 Spenningsfallet over hver kapasitans må her være V_{0}/3. Da er ladningen på hver kapasitans Q = CV_{0}/3. Riktig svar: E.

Oppgave 17 Kretsens totale kapasitans er (1/C + 1/(2C + 3C))^{−1} = 5C/6. Med en slik kapasitans ville ladningen på den ha vært 5V_{0}C/6. Dette blir da ladningen på den ene kapasitansen C, og samtidig total ladning på de to parallellkoblede 2C og 3C, der 2/5 må ligge på 2C og 3/5 på 3C. Dermed (3/5) · (5V_{0}C/6) = V_{0}C/2 på kapasitansen 3C. Riktig svar: D.

Oppgave 18 Kretsens totale motstand er 2R + (1/R + 1/R + 1/R)^{−1} = 7R/3, slik at total strøm i kretsen er 3V_{0}/7R. Denne fordeler seg naturligvis likt på de tre parallellkoblede motstandene, dvs strøm V_{0}/7R gjennom hver av dem. Riktig svar: E.

Oppgave 19 Elektrisk kraft på elektronet: F_{e} = qE = e · 3000, i negativ y-retning. Magnetisk kraft på elektronet: F_{m} = evB = e · 20000 · 0.150 = e · 3000, i positiv y-retning. Total kraft: Null. Riktig svar: A.

Oppgave 20 Med x ≫ h er magnetfeltet tilnærmet konstant over hele ledersløyfas omsluttede areal, B(x) = μ_{0}I/2πx, og omsluttet magnetisk fluks blir ϕ(x) = B(x) · A = μ_{0}Ibh/2πx. Indusert spenning blir dermed

|V | = |\frac{dϕ}{dt}| = \frac{μ_{0}Ibh}{2πx^{2}} · \frac{dx}{dt} = \frac{μ_{0}Ibhv}{2πx^{2}} .

Riktig svar: C.

Oppgave 21 Anta at det går en strøm I_{1} i spole nr 1. Dette skaper et magnetfelt B_{1} = μ_{0}(N_{1}/λ)I_{1} overalt inne i spolen (der vi antar lang, tettviklet spole). Det betyr at spole nr 2 omslutter en magnetisk fluks ϕ_{2} = N_{2}B_{1}A = N_{2}μ_{0}(N_{1}/λ)I_{1}A, som igjen betyr at gjensidig induktans er

M = ϕ_{2}/I_{1} = μ_{0}N_{1}N_{2}A/λ

. Riktig svar: C.

Oppgave 22 Her er maksimal strøm V_{0}/R = 4.5 A. Kretsens tidskonstant er L/R = 1 s. En strøm 4.0 A er noe mer enn en andel 1 − 1/e ≃ 0.62 av maksimal strøm, så det bør ta noe mer enn 1 sekund å oppnå 4.0 A i kretsen. Vi bør nok satse på 2.2 s. Med litt regning: I(t) = (V_{0}/R)(1 − exp(−Rt/L)), som løst mhp t gir

t = \frac{L}{R} ln (\frac{1}{1 − RI(t)/V_{0}} ) = 1.0 s · ln 9 = 2.2 s.

Riktig svar: D.

Oppgave 23 Total omsluttet fluks er ϕ(t) = NBA cos ωt, slik at indusert spenning blir V (t) = V_{0} sin ωt med amplitude V_{0} = NBAω = NBA2π/T. Vi må derfor ha en periode T = 2π · 50 · 0.250 · 400 · 10^{−4}/311 s = 0.01 s. Riktig svar: B.

Oppgave 24 Siden ω_{0} = 1/\sqrt{LC}, har vi L = 1/ω_{0}^{2}C = 1/4π^{2}f_{0}^{2}C, som med innsetting av oppgitte tallverdier gir L = 63.1 · 10^{−12} H. Riktig svar: C.

Oppgave 25 Vi må benytte en kondensator med kapasitans C = 1/4π^{2}f_{0}^{2}L, som med oppgitte tallverdier gir C = 25 nF. Da er i grunnen bare B et aktuelt svar... La oss sjekke at vi får riktig Q-faktor med motstand som i alternativ B: Vi har Q = \sqrt{L/C}/R, dvs R = \sqrt{L/C}/Q = \sqrt{10^{−6}/25 · 10^{−9}}/10^{4} = 6.3 · 10^{−4} = 0.63 mΩ. Stemmer. Riktig svar: B.