TFY4106 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Våren 2016. Løsningsforslag til øving 12.

1) Med isoterme forhold og ideell gass blir bulkmodulen

B = −V (∂p/∂V)_{T} = −V (∂(Nk_{B}T/V)/∂V)_{T} = Nk_{B}T/V,

slik at v = \sqrt{(Nk_{B}T/V)/(mN/V)} = \sqrt{k_{B}T/m}. Riktig svar: B.

2) Med adiabatiske forhold og ideell gass er pV^{γ} konstant, dvs vi kan skrive p(V) = AV^{−γ}. Bulkmodulen blir da

B = −V · A · (−γ)V^{−γ−1} = γp,

og siden p = Nk_{B}T/V, har vi v = \sqrt{γk_{B}T/m}. Riktig svar: A.

3) Molar masse 29 gram gir molekylmasse m = 0.029/6.022 · 10^{23} kg = 4.82 · 10^{−26} kg. Med T = 293 K gir dette v = 290 m/s. Riktig svar: A.

4) Luft er nesten utelukkende en toatomig gass, slik at γ ≃ 1.4. Dette gir v = 343 m/s. Riktig svar: D.

5) I en ideell gass er det ingen vekselvirkning mellom molekylene, slik at indre energi U er lik molekylenes kinetiske energi K. Toatomige molekyler har 5 kvadratiske ledd i energifunksjonen: K = (m/2)(v_{x}^{2} + v_{y}^{2} + v_{z}^{2})+(I_{0}/2)(ω_{x}^{2} +ω_{y}^{2}) (når vi velger z-aksen langs molekylets akse; null treghetsmoment med hensyn på rotasjon omkring molekylets akse for lineære molekyler; intet bidrag fra kinetisk vibrasjonsenergi, da tilgjengelig termisk energi ved normale temperaturer er for liten til å eksitere vibrasjonsbevegelse i toatomige molekyler (utover laveste vibrasjonsenergitilstand, den såkalte grunntilstanden)). Ekvipartisjonsprinsippet sier at hvert kvadratiske ledd i energifunksjonen gir et bidrag k_{B}T/2 til indre energi U pr molekyl når systemets temperatur er T. Dermed er U(T) = 5Nk_{B}T/2 for en ideell toatomig gass. Da er C_{V} = (dQ/dT)_{V} = (dU/dT)_{V} (siden dW 0p dV = 0 når eksperimentet foretas ved konstant volum), dvs C_{V} = 5Nk_{B}/2. Hvis eksperimentet foretas ved konstant trykk, er C_{p} = (dQ/dT)_{p} = (dU/dT)_{p} + p(dV/dT)_{p} = 5Nk_{B}/2 + p · Nk_{B}/p = 7Nk_{B}/2. Riktig svar: C.

6) Arbeid utført pr syklus er gitt ved arealet som omsluttes av kurven p(V). Her blir da W = (5p_{0} − p_{0}) · (4V_{0} − V_{0}) = 12p_{0}V_{0}. Riktig svar: C.

7) La oss nummerere de fire hjørnene av den rektangulære p(V)-kurven fra 1 til 4, med klokka, og med tilstand 1 oppe til venstre, dvs p_{1} = 5p_{0} og V_{1} = V_{0} Ideell gass tilstandsligning gir da T_{1} = p_{1}V_{1}/Nk_{B} = 5p_{0}V_{0}/Nk_{B}, T_{2} = p_{2}V_{2}/Nk_{B} = 20p_{0}V_{0}/Nk_{B}, T_{3} = p_{3}V_{3}/Nk_{B} = 4p_{0}V_{0}/Nk_{B}, og T_{4} = p_{4}V_{4}/Nk_{B} = p_{0}V_{0}/Nk_{B}. I stigende rekkefølge, og i enheten p_{0}V_{0}/Nk_{B} blir dette T_{4} = 1, T_{3} = 4, T_{1} = 5 og T_{2} = 20. Riktig svar: D.

8) Varme som overføres fra omgivelsene til gassen er C_{p}ΔT for de to isobare delprosessene (12 og 34), og C_{V} ΔT for de to isokore delprosessene (23 og 41). Siden temperaturen i gassen avtar fra tilstand 2 til tilstand 3, og fra tilstand 3 til tilstand 4, er dette delprosesser der varme avgis fra gassen til omgivelsene. Dette er ikke varme som vi må betale for, og skal dermed ikke regnes med når virkningsgraden skal beregnes. I den isobare utvidelsen fra 1 til 2 og i den isobare trykkøkningen fra 4 til 1, derimot, øker temperaturen i gassen. Dette gir positiv varmeoverføring fra omgivelsene til gassen, slik at Q_{12} og Q_{41} skal regnes med ved beregning av η. Her blir Q_{12} = (7Nk_{B}/2) · (T_{2} − T_{1}) = 105p_{0}V_{0}/2 og Q_{41} = (5Nk_{B}/2) · (T_{1} − T_{4}) = 10p_{0}V_{0}. I alt blir Q_{inn} = 125p_{0}V_{0}/2, slik at virkningsgraden er

η = W/Q_{inn} = 12/(125/2) = 24/125 ≃ 0.19.

Riktig svar: A. Kommentar: En Carnot-prosess med isotermer ved høyeste (T_{2}) og laveste (T_{4}) temperatur i den aktuelle prosessen ville hatt virkningsgrad η_{C} = 1 − T_{4}/T_{2} = 1 − 1/20 = 0.95. Dette er en øvre teoretisk grense, og vi ser at vår kretsprosess har virkningsgrad (0.19) betydelig mindre enn dette.

9) Isobar utvidelse fra a til b betyr at T_{a} < T_{b}. Isoterm utvidelse fra b til c betyr at T_{b} = T_{c}. Adiabatisk kompresjon fra d til a betyr at T_{d} < T_{a} (siden en adiabat er brattere enn en isoterm i et pV -diagram). Dermed er T_{d} < T_{a} < T_{b} = T_{c}. Riktig svar: B.

10) Isobar kompresjon fra a til b betyr at T_{a} > T_{b}. Isoterm utvidelse fra b til c betyr at T_{b} = T_{c}. Adiabatisk kompresjon fra d til a betyr at T_{d} < T_{a} (siden en adiabat er brattere enn en isoterm i et pV -diagram). Dermed er T_{b} = T_{c} < T_{d} < T_{a}. Riktig svar: D.

11) En Carnot-varmepumpe har effektfaktor

ε_{V}^{C} = |Q_{2}/W | = |Q_{2}/(Q_{2} + Q_{1})| = |1/(1 + Q_{1}/Q_{2})| = |1/(1 − T_{1}/T_{2})| = T_{2}/(T_{2} − T_{1}).

Her er T_{2} temperaturen til det varme reservoaret, dvs inne i stua, og T_{1} er temperaturen til det kalde reservoaret, dvs ute. Din venn hevder at han oppnår Q_{2} = 10 kW med W = 1 kW når T_{1} = 253 K. Dette høres veldig mye ut: Hvis vi går ut fra at din venn i hvert fall har 15 varmegrader inne i stua, dvs minst T_{2} = 288 K, vil en Carnot-varmepumpe ikke kunne levere mer enn Q_{2} = W · T_{2}/(T_{2} − T_{1}) = 1 · 288/35 = 8.2 kW. Mer enn dette vil det ikke være mulig å få ut av en reell varmepumpe, og i praksis vil nok effektfaktoren være en god del mindre enn som så. Men du kan trygt gratulere din venn med en god investering – en god varmepumpe kan gi god fyringsøkonomi i dag. Du kan tillate deg alternativ C, eventuelt alternativ B, hvis du ikke er av den snakkesalige typen. Men A og D vil ikke se bra ut.

12) En Carnot-kjølemaskin har effektfaktor

ε_{K}^{C} = |Q_{1}/W | = |Q_{1}/(Q_{1} + Q_{2})| = |1/(1 + Q_{2}/Q_{1})| = |1/(1 − T_{2}/T_{1})| = T_{1}/(T_{2} − T_{1}).

Dermed: W = Q_{1} · (T_{2} − T_{1})/T_{1} = 500 · 33/255 = 65 W. Riktig svar: B.