TFY4106 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Våren 2016. Øving 8. Veiledning i uke 10.

Oppgave 1 En bølge forplanter seg på en streng utstrakt horisontalt (i x-retning). Strengen har kun vertikale utsving (i y-retning). Vi antar at strengen er uendelig lang og at utsvinget til strengen (overalt og til alle tider) er beskrevet ved:

y = A sin(kx − ωt)

der A = 1.0 cm, k = 2π/10 cm^{−1} og ω = 200π s^{−1}.

a) Hvilken figur viser utsvinget y som funksjon av x for 0 ≤ x ≤ 25 cm, for t = 0, t = 2.5 og t = 5.0 ms?

b) I hvilken retning forplanter bølgen seg? A) I positiv x-retning. B) I negativ x-retning. C) I positiv y-retning. D) I negativ y-retning.

c) For hvilke tider t vil utslaget y (for alle verdier av x) være det samme som for t = 0? A) t = 2.5n ms B) t = 5.0n ms C) t = 7.5n ms D) t = 10n ms (n = 1, 2, 3, …) d) Hva er perioden T for denne bølgen? A) T = 2.5 ms B) T = 5.0 ms C) T = 7.5 ms D) T = 10 ms

e) Hva er bølgelengden λ for denne bølgen? A) λ = 1 cm B) λ = 2 cm C) λ = 10 cm D) λ = 25 cm

f) Hva er bølgehastigheten v? (Kalles også fasehastigheten.) A) v = 5 cm/s B) v = 10 cm/s C) v = 5 m/s D) v = 10 m/s

g) Hva er maksimal hastighet v_{p}^{max} til et strengelement? (Hastigheten v_{p} kalles ofte partikkelhastighet.) A) 2.2 cm/s B) 6.3 cm/s C) 2.2 m/s D) 6.3 m/s

h) Hva er maksimal akselerasjon a^{max} til et strengelement? A) 3.9 km/s^{2} B) 3.9 m/s^{2} C) 3.9 cm/s^{2} D) 3.9 mm/s^{2}

i) Dersom y = A cos(kx − ωt + ϕ) skal beskrive eksakt den samme bølgen som y = A sin(kx − ωt), hvilken verdi må ϕ ha? A) ϕ = π B) ϕ = −π C) ϕ = π/2 D) ϕ = −π/2

Oppgave 2

a) Summen y_{3} = y_{1} + y_{2} av to harmoniske bølger med samme amplitude, frekvens og bølgelengde beskrevet ved y_{1} = A cos(kx − ωt + ϕ_{1}) og y_{2} = A cos(kx − ωt + ϕ_{2}) er også en harmonisk bølge beskrevet ved y_{3} = A_{3} cos(kx − ωt + ϕ_{3}). Hva er A_{3} og ϕ_{3} uttrykt ved A, ϕ_{1} og ϕ_{2}? (Hint: cos u + cos v = 2 cos \frac{u+v}{2} cos \frac{u−v}{2} ) A) A_{3} = 2A cos \frac{ϕ_{1}+ϕ_{2}}{2} , ϕ_{3} = \frac{ϕ_{1}−ϕ_{2}}{2} B) A_{3} = 2A cos \frac{ϕ_{1}−ϕ_{2}}{2} , ϕ_{3} = \frac{ϕ_{1}+ϕ_{2}}{2} C) A_{3} = A cos \frac{ϕ_{1}+ϕ_{2}}{2} , ϕ_{3} = \frac{ϕ_{1}−ϕ_{2}}{2} D) A_{3} = A cos \frac{ϕ_{1}−ϕ_{2}}{2} , ϕ_{3} = \frac{ϕ_{1}+ϕ_{2}}{2}

b) Vi lar nå faseforskjellen mellom de to bølgene y_{1} og y_{2}, dvs Δϕ ≡ ϕ_{1} − ϕ_{2}, variere. Hvilke verdier av Δϕ gir henholdsvis maksimalverdi og minimalverdi for |A_{3}|? A) |A_{3}|^{max} for Δϕ = nπ/2, |A_{3}|^{min} for Δϕ = (2n + 1)π B) |A_{3}|^{max} for Δϕ = 2πn, |A_{3}|^{min} for Δϕ = (2n + 1)π C) |A_{3}|^{max} for Δϕ = nπ/2, |A_{3}|^{min} for Δϕ = (n/3 + 1)π D) |A_{3}|^{max} for Δϕ = 2πn, |A_{3}|^{min} for Δϕ = (n/3 + 1)π (n = 0, 1, 2, …)

c) Hva blir |A_{3}|^{max} og |A_{3}|^{min}? A) |A_{3}|^{max} = 2A, |A_{3}|^{min} = 0 B) |A_{3}|^{max} = 2A, |A_{3}|^{min} = A/2 C) |A_{3}|^{max} = A, |A_{3}|^{min} = 0 D) |A_{3}|^{max} = A, |A_{3}|^{min} = A/4 Oppgave 3 Den venstre enden av en (lang) streng strukket i x-retning tvinges til å vibrere normalt på strengens utstrekning (dvs såkalt transversalt) med et utsving gitt ved

y = A cos ωt

der A = 0.10 m og ω = 2πf med f = 1.0 Hz. Strekket i strengen er S = 8.5 N, og masse pr lengdeenhet er μ = 28 g/m. Anta at svingningen gitt ovenfor resulterer i at en rent harmonisk transversal bølge forplanter seg i positiv x-retning på strengen. Velg x = 0 ved strengens venstre ende, og anta at strengen er så lang at du ikke får noen reflektert bølge mens du gjør eksperimentet.)

a) Hva er bølgehastigheten v på strengen? A) 17 m/s B) 49 cm/s C) 6 cm/s D) 5.8 m/s

b) Hva er bølgelengden til bølgen som forplanter seg langs strengen? A) 17 m B) 49 cm C) 6 cm D) 5.8 m

c) Hva blir bølgehastigheten dersom strengens venstre ende svinger tre ganger så fort (dvs med f = 3.0 Hz)? A) 17 m/s B) 49 cm/s C) 6 cm/s D) 5.8 m/s

d) Hva blir bølgelengden dersom strengens venstre ende svinger tre ganger så fort? A) 17 m B) 49 cm C) 6 cm D) 5.8 m

e) Med frekvensen 1.0 Hz, hva blir utsvinget y til et punkt på strengen som ligger i posisjonen x = 1.0 m? (Målt i meter, som funksjon av tiden t, målt i sekunder.) A) y(1.0, t) = 0.10 cos(0.37 + 6.28t) B) y(1.0, t) = 0.10 cos(0.37 − 6.28t) C) y(1.0, t) = 0.10 cos(0.37 + 1.57t) D) y(1.0, t) = 0.10 cos(0.37 − 1.57t)

f) Med frekvensen 1.0 Hz, hva blir utsvinget y til et punkt på strengen som ligger i posisjonen x = 5.0 m? (Målt i meter, som funksjon av tiden t, målt i sekunder.) A) y(5.0, t) = 0.10 cos(1.85 + 6.28t) B) y(5.0, t) = 0.10 cos(1.85 − 6.28t) C) y(5.0, t) = 0.10 cos(1.85 + 1.57t) D) y(5.0, t) = 0.10 cos(1.85 − 1.57t)

g) Hvor stor er faseforskjellen mellom utsvinget i disse to posisjonene (dvs 1.0 og 5.0 m fra svingekilden)? A) 12 ^{∘} B) 49 ^{∘} C) 83 ^{∘} D) 117 ^{∘} Oppgave 4 En gaussformet bølgepuls

ξ(x, t) = ξ_{0} exp [−\frac{(x − vt)^{2}}{a^{2}} ]

vandrer med hastighet v langs en (uendelig lang) streng med massetetthet μ [kg/m] og strekk-kraft S [N]. Størrelsen ξ(x, t) representerer det transversale utsvinget (i forhold til likevekt) ved tidspunkt t for den biten av strengen som befinner seg i posisjon x. Bølgens maksimale utsving ξ_{0} er lite (dvs: i forhold til bølgens utstrekning, som er av størrelsesorden a).

a) Hvorfor kan vi være sikre på at ξ(x, t) virkelig er en mulig bølgepuls langs en slik streng? A) ξ(x, t) er to ganger deriverbar og har riktig avhengighet av x og t. B) ξ(x, t) har endelig utstrekning i rommet. C) ξ(x, t) er symmetrisk. D) ξ(x, t) avtar tilstrekkelig raskt mot null for store verdier av x og t.

b) I hvilken retning propagerer bølgen? A) I positiv x-retning. B) I negativ x-retning. C) I positiv y-retning. D) I negativ y-retning.

c) Hva er bølgepulsens hastighet v? A) v = a · t B) v = \sqrt{S/μ} C) v = ξ_{0}/t D) v = a/t

d) Hva blir (den totale) energien E assosiert med bølgepulsen? A) E = πμv^{2}ξ_{0}^{2}/\sqrt{2a} B) E = μv^{2}a/2 C) E = \sqrt{π}μv^{2}ξ_{0}^{2}/\sqrt{2}a D) E = 42

Tips til d): Ta utgangspunkt i at bølgens energi pr lengdeenhet er

ε(x, t) = μv^{2} (\frac{∂ξ}{∂x})^{2}

som utledet i forelesningene. Dermed er ε(x, t) dx bølgens energiinnhold mellom x og x + dx. Det oppgis her følgende integral:

∫_{−∞}^{∞} β^{2}e^{−β^{2}}dβ = \frac{\sqrt{π}}{2}