TFY4106 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Løsningsforslag til øving 10.

Oppgave 1. Dopplereffekt. Svevning. Interferens.

a) Så lenge v_{O} = v_{S} = 0, spiller det ingen rolle om det blåser. Observatøren vil måle samme frekvens som kilden (S) sender ut. Riktig svar: B.

b) Veggen står i ro og ”observerer” bølgen som sendes ut av flaggermusen. Frekvensen f_{V} mottatt av veggen er

f_{V} = \frac{v}{v − v_{F}} f_{F} = \frac{340}{340 − 10} · 100 kHz = 103.03 kHz.

Veggen reflekterer, dvs sender tilbake mot flaggermusen, en bølge med denne frekvensen. Nå er veggen en bølgekilde i ro, mens flaggermusen er en observatør i bevegelse, mot kilden (veggen). Dermed hører flaggermusen et ekko med frekvens

f_{E} = \frac{v + v_{F}}{v} f_{V} = \frac{350}{340} · 103.03 kHz ≃ 106 kHz.

Riktig svar: B.

c) Her er sveveperioden T_{s} = 1 s. Dermed er svevefrekvensen f_{s} = 1/T_{s} = 1 Hz. Dette tilsvarer frekvensforskjellen mellom de to lydbølgene fra hhv stemmegaffelen (440 Hz) og pianoets A-streng. Du kan imidlertid ikke vite om A-strengen svinger med frekvens 439 Hz eller 441 Hz. Riktig svar: D.

d) To lydkilder som svinger i fase med samme frekvens gir konstruktiv interferens (max intensitet) dersom bølgene har en veilengdeforskjell lik et helt antall bølgelengder λ. Med avstand d mellom lydkildene og vinkel θ mellom senterlinjen (med lengde 20 m; se figuren i oppgaven) og en linje fra (midtpunktet mellom) høyttalerne til observatøren, blir veilengdeforskjellen, med god tilnærmelse, lik d sin θ. Max intensitet høres derfor av dem som sitter slik til at θ = 0 eller

θ = arcsin(d/nλ),

med n = 1, 2, . . .. Destruktiv interferens (min intensitet) oppnås med veilengdeforskjell (n+1/2)λ, og dermed av dem som sitter slik til at

θ = arcsin(d/(n + 1/2)λ).

Med d = 1 m og λ = v/f = 340/3400 = 0.1 m har vi max intensitet i retningene θ_{max} = 0, ±5.7^{∘}, ±11.5^{∘}, ±17.5^{∘} osv. Minimal intensitet har vi i retningene θ_{min} = ±2.9^{∘}, ±8.6^{∘}, ±14.5^{∘} osv. Bjarne sitter ved θ_{B} = 0 og hører dermed max intensitet. Anne sitter ved θ_{A} = arctan(5.2/20) = 14.6^{∘}, som er tilstrekkelig nær 14.5^{∘} til å fastslå at hun hører minimal intensitet. Camilla sitter ved θ_{C} = arctan(−3.0/20) = −8.5^{∘}, så hun hører også minimal intensitet. Endelig har vi Dag som sitter ved θ_{D} = arctan(−6.3/20) = 17.5^{∘}, så Dag hører max intensitet. Riktig svar: B.

Oppgave 2. Termisk fysikk: Ideell gass. Volumutvidelse.

a) Hvis du vet, eller finner ut, at luft har massetetthet ca 1.2 - 1.3 kg/m^{3} (mindre tetthet ved høyere temperatur), er det bare å gange med volumet på ca 10 m^{2} × 2.4 m, dvs ca 24 m^{3}. Dette gir en masse omkring 30 kg.

Med ideell gass: pV = Nk_{B}T gir antall molekyler pr volumenhet (ved 300 K)

ρ = N/V = p/k_{B}T = 1.013 · 10^{5}/(1.38 · 10^{−23} · 300) ≃ 2.45 · 10^{25} m^{−3}.

Vi trenger midlere masse pr molekyl. Med ca 20 prosent oksygen og resten nitrogen blir dette ca 29 g/mol, som er ca 4.8 · 10^{−26} kg pr molekyl. Dermed

μ = ⟨m⟩ρ ≃ 1.18 kg/m^{3}.

Riktig svar: C.

b) En høydeendring på 1 cm, som gir en temperaturendring på 1 grad, krever en volumendring

ΔV = A · h = πr^{2} · h ≃ 0.4π mm^{3}.

Totalt volum sprit må da være

V = \frac{ΔV}{βΔT} = 400π mm^{3} ≃ 1.3 mL.

Riktig svar: A.

c) Trykket i 1 mol ideell gass ved 20^{∘}C og volum 24.0 L:

p = \frac{RT}{V} = \frac{8.314 · 293}{24.0 · 10^{−3}} Pa = 1.015 · 10^{5} Pa = 1 atm.

Riktig svar: A.

Oppgave 3. Atmosfæren på Mars

a) Vi ser på en luftsøyle med tverrsnitt A og høyde dz, og dermed masse dM = μAdz når massen pr volumenhet er μ. Vekten av denne luftsøylen er dM g = μAdz g, som må tilsvare forskjellen dF i kraften (nedover) på luftsøylens nedre og øvre flate. Siden trykket pr definisjon er kraft pr flateenhet, må dp = −dF/A = −μdz g bli endringen i trykket hvis vi forflytter oss fra høyde z til høyde z + dz. Av dette følger det oppgitte uttrykket dp/dz = −μg.

b) Hvis m er gassens masse pr mol, er nm massen til n mol gass. Og hvis n mol gass okkuperer volumet V, blir da masse pr volumenhet μ = nm/V. Dermed: pV = nRT ⇒ p/RT = n/V = μ/m, i samsvar med oppgitt uttrykk for μ.

c) Fra a) har vi dp/dz = −μg, og med resultatet i b) betyr det at dp/p = −mgdz/RT. Integrasjon på begge sider, på venstre side fra p(0) = p_{0} til p(z) og på høyre side fra z = 0 til z, gir ln[p(z)/p_{0}] = − ∫_{0}^{z′} mg(z′)dz′/RT (z′), som etter eksponentiering på begge sider gir det oppgitte uttrykket for p(z) med oppgitt skalahøyde H(z).

d) Innsetting av oppgitte tallverdier for R, T, m og g gir H = 12.1 km. Integralet i c) blir da lik 1, slik at p(H)/p_{0} = 1/e.

e) og f) Se martian_{−}atmosphere.m. Figuren nedenfor viser at trykkprofilen blir ganske riktig ved å bruke konstant temperatur 234 K, med økende feil ved store høyder. Merknad: Numerisk løsning av integralet

∫_{0}^{z} \frac{dz′}{T (z′)}

med Simpsons metode fordrer at intervallet fra 0 til z deles inn i et like antall intervaller, dvs med et odde antall diskretiserte høydeverdier, endepunktene 0 og z inkludert. Dette skyldes at metoden er basert på å trekke parabler mellom nest nærmeste nabo høydeverdier. Denne begrensningen har vi ikke med trapesmetoden, der rette linjer trekkes mellom nærmeste nabo høydeverdier.

Figur 1: Trykk som funksjon av høyde over bakken på planeten Mars, beregnet med utgangspunkt i en realistisk temperaturprofil og med bruk av konstant temperatur.

I programmet martian_{−}atmosphere.m brukes Simpsons metode for å bestemme annenhver verdi for p(z), dvs for de høydeverdiene som tilsvarer at antall intervaller er et partall. For de resterende høydeverdiene brukes trapesmetoden. Det ville selvsagt ha vært enklere å bruke trapesmetoden for alle verdier av z. Merk at de to første høydene, z = 0 og z = h, må behandles separat, ettersom iterasjonsprosessen først kan startes med to verdier på plass, en for iterasjon med trapesmetoden og en for iterasjon med Simpsons metode.