Løsningsforslag, tentamen TFY4106 torsdag 20. november 2014

1) Konstant v = v_{t} betyr a = 0, dvs F = 0, dvs mg = Dv_{t}^{2}, dvs v_{t} = \sqrt{mg/D} = \sqrt{0.400 · 9.81/0.0115} = 18.5 m/s. B.

2) Null nettokraft normalt skråplanet gir N = mg cos θ. Null nettokraft langs skråplanet gir mg sin θ = f = μ_{k}N, dvs tan θ = μ_{k} = 0.4 som gir θ = 22 grader. C.

3) En ren figurbetraktning gir D = L/3 + 2 · (L/3) · cos α, der α er den søkte vinkelen. Innsetting av D = 4 og L = 6 gir cos α = 1/2, dvs α = 60 grader. D.

4) En fotball er essensielt et kuleskall, med treghetsmoment I_{0} = (2/3)MR^{2}. Fra oppgave 1 har vi M = 400 g og R = 11 cm, som gir I_{0} = (2/3) · 0.4 · 0.11^{2} = 0.003 kg m^{2} = 3 g m^{2}. B.

5) Fire krefter virker på stigen: Mg, loddrett ned, angriper i massesenteret; N_{1}, horisontalt, normalkraft fra veggen på stigen; N_{2}, vertikalt opp, normalkraft fra gulvet på stigen; f ≤ μ_{s}N_{2}, horisontalt (mot veggen), friksjonskraft fra gulvet på stigen. Minimal μ_{s} finnes ved å erstatte ulikheten med likhetstegn. Newtons 1. lov vertikalt: Mg = N_{2}. N1 horisontalt: N_{1} = μ_{s}N_{2}. N1 for rotasjon mhp kontaktpunktet mellom gulv og stige: Mg · (L/2) · cos π/4 = N_{1} · L · cos π/4. Siste ligning her gir Mg = 2N_{1}, som kombinert med de to andre gir μ_{s} = 0.5. C.

6) Her kan vi bruke at ω_{0} = \sqrt{k/m} hvis vi har kun en masse m festet i ei fjær, som igjen er festet i en vegg. Dersom vi lar M → ∞, må det tilsvare situasjonen med veggen. Bare alternativ A stemmer med dette. A.

7) Total energi er E = mv_{0}^{2}/2 = mω_{0}^{2}L^{2}/2, og denne er bevart. I en vilkårlig posisjon er hastigheten v og høyden er h(θ) = L(1 − cos θ). Dermed er mv^{2}/2 + mgL(1 − cos θ) = mω_{0}^{2}L^{2}/2, som gir v = [ω_{0}^{2}L^{2} − 2gL(1 − cos θ)]^{1/2}. B.

8) Baneakselerasjonen er −g sin θ, dvs Δv/Δt = −g sin θ. Da er det vel klart at riktig svar er B.

9) Med p = AT^{γ/(γ−1)} kan variasjoner i p uttrykkes ved variasjoner i T: dp = A(γ/(γ − 1))T^{(γ/(γ−1))−1}dT, som betyr at dT = ((γ − 1)/γ)(T/p)dp. Dette må også gjelde for sammenhengen mellom amplitudene, slik at ΔT = (0.4/1.4) · (300/10^{5}) · 10^{−3} ≃ 10^{−6} K. B.

10) I avtar proporsjonalt med kvadratet av avstanden til sola. Dermed er I_{V} /I_{N} = (4500/108)^{2} = 1736. C.

11) Lydhastigheten i gasser, og dermed i luft, er proporsjonal med kvadratroten av temperaturen, v = A\sqrt{T}. Dermed er Δv = (1/2)vΔT/T, slik at (Δv/v) · 100 = 50 · ΔT/T = 50 · (−40)/293 = −7. B.

12) Med lik lengde har begge strenger lik bølgelengde for grunntonen (2L). Da er frekvensen omvendt proporsjonal med kvadratroten av strengens masse pr lengdeenhet (siden bølgehastigheten er det). Strengene har lik masse pr volumenhet. Det betyr at μ, massen pr lengdeenhet, er proporsjonal med d^{2}, der d er strengens diameter. Dermed har vi at f ∼ 1/d, slik at f_{D}/f_{E} = d_{E}/d_{D}, dvs d_{E} = d_{D}f_{D}/f_{E} = 0.026·146.8/82.4 = 0.046 in. B.

13) Her vil trykkbølgen ha nullpunkt (node) i den åpne enden og buk i den lukkede enden. (For utsvingsbølgen vil det være omvendt.) Uansett vil grunntonen ha en kvart bølgelengde på rørets lengde, slik at λ = 4L = 320 cm. C.

14) Hvis frekvensen inne i ambulansen er f og lydhastigheten er v, hører dere frekvensen f_{1} = vf/(v − v_{S}) når ambulansen (kilden, S, med hastighet v_{S}) kommer mot dere, og frekvensen f_{2} = vf/(v + v_{S}) når den kjører bort fra dere. Dette er to ligninger med to ukjente, f og v_{S}. Løsningen er, med f_{1} = 300 Hz og f_{2} = 250 Hz, v_{S}/v = 1/11 og f = f_{1}(v − v_{S})/v. Med v = 340 m/s (det er en varm sommerdag, så lydhastigheten er forholdsvis stor) finner vi v_{S} = 31 m/s, dvs 111 km/h, og f = 273 Hz. A.

15) Konstruktiv interferens når d sin θ = nλ. Vi er ute etter θ for n = 1. Her er sin θ_{1} ≃ tan θ_{1} = y_{1}/L, med L = 1.0 m. Formelen for konstruktiv interferens gir sin θ_{1} = λ/d = 0.0632. Dermed: y_{1} = 0.0632 m = 6.3 cm. B.

16) Tyngden til et vannvolum V med høyde h, tverrsnitt A og massetetthet ρ er ρgAh. Trykkøkningen fra overflaten og ned til dybden h er dermed ρgh, og med ρ = 1000, g ≃ 10 og h = 10 (alle i SI-enheter) blir Δp = 10^{5} Pa, som er ca 1 atm. A.

17) Trykket der vannet skal strømme ut inne i sugepumpa kan vanskelig bli mindre enn null. Trykket ved brønnvannets overflate er ca 1 atm. Denne trykkforskjellen på 1 atm kan tilsvarer en vannsøyle på 10 meter. Dermed er riktig svar A.

18) B = −V (∂p/∂V)_{T} = (−V)(−nRT/V^{2}) = p = 1 atm. A.

19) β = (1/V)(∂V/∂T)_{p} = (1/V)(nR/p) = 1/T = 3.7 · 10^{−3} K^{−1}. C.

20) Clapeyrons ligning: dp/dT = L/(T · ΔV), der L er latent varme og ΔV er volumendringen ved faseovergangen, begge deler når vi går fra venstre mot høyre i (p, T)-diagrammet, dvs mot høyere temperatur. Is avgir ikke varme når den smelter, så det er bare ΔV = V_{is} − V_{vann} som kan være negativ på høyre side i Clapeyrons ligning. Med andre ord, vann utvider seg når det fryser. A.

21) Varmemotstanden til et stykke materiale med tykkelse a, tverrsnitt A og varmeledningsevne κ er R = a/κA. Her har vi seriekoblinger, mellom panel + stender + panel i det ene tilfellet (som gir R_{t}) og mellom panel + isolasjon + panel i det andre tilfellet (som gir R_{g}). Da legges de enkelte motstander sammen for å finne total varmemotstand. Innsetting av tallverdier gir, med A = 1 cm^{2}, for 26 cm gjennomgående treverk,

R_{t} = \frac{0.26 m}{0.12 (W/mK) · 10^{−4} m^{2}} = 21667 K/W,

og for en seriekobling av 3 cm treverk + 20 cm isolasjon + 3 cm treverk, dvs 6 cm treverk og 20 cm isolasjon,

R_{g} = \frac{0.06 m}{0.12 (W/mK) · 10^{−4} m^{2}} + \frac{0.20 m}{0.035 (W/mK) · 10^{−4} m^{2}} = (5000 + 57143) K/W = 62143 K/W,

Forholdet mellom disse blir 2.87. C.

22) Effektfaktor for varmepumpe: ε_{V} = |Q_{2}/W | = 4.2/1.2 = 3.5. B. (De to oppgitte temperaturene spiller ingen rolle her, da det ikke er snakk om en Carnot varmepumpe.)

23) Wiens forskyvningslov gir maksimal dj/dλ for λ = 2.90 · 10^{−3}/353 = 8.2 · 10^{−6} m, dvs 8.2 μm. D.

24) Kaffen har avgitt varme. Da har kaffens entropi blitt mindre. B.

25) Spontane, irreversible prosesser vil føre til økt entropi totalt sett, når vi inkluderer både system og omgivelser. Og med hele universet inkludert, må det bety at entropien øker, siden avkjølingen av kaffen er en spontan, irreversibel prosess. C.