TFY4106 Fysikk Eksamen 17. desember 2014 (Foreløpig versjon pr 5. desember 2014.)

FORMLER: Fete symboler angir vektorer. Symboler med hatt over angir enhetsvektorer. Formlenes gyldighetsområde og de ulike symbolenes betydning antas forøvrig å være kjent. Symbolbruk og betegnelser som i forelesningene.

MEKANISK FYSIKK INKL SVINGNINGER

• Newtons andre lov: F = dp/dt  p = mv = mṙ
• Konstant akselerasjon: v = v_{0} + at  x = x_{0} + v_{0}t + \frac{1}{2}at^{2}
• Konstant vinkelakselerasjon: ω = ω_{0} + αt  θ = θ_{0} + ω_{0}t + \frac{1}{2}αt^{2}
• Arbeid: dW = F · dr  Kinetisk energi: K = \frac{1}{2}mv^{2}
• Konservativ kraft og potensiell energi: U(r) = − ∫\begin{matrix}r \\ r & 0 \end{matrix} F · dr
• Friksjon,  statisk: f ≤ μ_{s}N  kinetisk: f = μ_{k}N
• Luftmotstand (liten v): f = −kv  Luftmotstand (stor v): f = −Dv^{2}v̂
• Tyngdepunkt: R^{CM} = \frac{1}{M} ∑_{i} r^{i}m^{i} → \frac{1}{M} ∫ r · dm  Tyngdepunktbevegelsen: MR̈^{CM} = F^{ytre}
• Sirkelbevegelse: v = rω Sentripetalakselerasjon: a = −v^{2}/r Baneakselerasjon: a = dv/dt = r dω/dt
• Dreiemoment: τ = (r − r_{0}) × F  Statisk likevekt: ΣF_{i} = 0 Στ_{i} = 0
• Dreieimpuls: L = (r − r_{0}) × p  N2 rotasjon: τ = dL/dt
• Stivt legeme, refleksjonssymmetri mhp rotasjonsaksen: L = L_{b} + L_{s} = (R_{CM} − r_{0}) × MV + I_{0}ω
• Kinetisk energi, stivt legeme: K = \frac{1}{2}MV^{2} + \frac{1}{2}I^{0}ω^{2}  Treghetsmoment: I = ∑_{i} m^{i}r_{i}^{2} → ∫ r^{2}dm

• Stivt legeme, rotasjon om fast akse: K = \frac{1}{2}Iω^{2}
• N2 rotasjon, akse med fast orientering: τ = I \frac{dω}{dt}
• Steiners sats (parallellakseteoremet): I = I_{0} + Md^{2}
• Gravitasjon: F = −\frac{GMm}{r^{2}} r̂ U(r) = −\frac{GMm}{r}
• Enkel harmonisk oscillator:  ẍ + ω_{0}^{2}x = 0  T = 2π/ω_{0}  f = 1/T = ω_{0}/2π

Masse i fjær: ω_{0} = \sqrt{k/m} Matematisk pendel: ω_{0} = \sqrt{g/L} Fysisk pendel: ω_{0} = \sqrt{mgd/I}

• Fri, dempet svingning, langsom bevegelse i fluid:  mẍ + bẋ + kx = 0
⇒ ẍ + 2γẋ + ω_{0}^{2}x = 0  ω_{0}^{2} = k/m  γ = b/2m
Underkritisk demping (γ < ω_{0})  x(t) = Ae^{−γt} sin(ωt + ϕ)  ω = \sqrt{ω_{0}^{2} − γ^{2}}
Overkritisk demping (γ > ω_{0})  x(t) = Ae^{−α_{1}t} + Be^{−α_{2}t}  α_{1,2} = γ ± \sqrt{γ^{2} − ω_{0}^{2}}

Kritisk demping (γ = ω_{0}) x(t) = Ae^{−γt} + Bte^{−γt}

• Tvungen svingning, harmonisk ytre kraft:  mẍ + bẋ + kx = F_{0} cos ωt

(partikulær-)løsning: x(t) = A(ω) sin(ωt + ϕ(ω))

amplitude: A(ω) = \frac{F_{0}/m}{\sqrt{(ω^{2} − ω_{0}^{2})^{2} + (2γω)^{2}}}

halvverdibredde: Δω ≃ 2γ Q-faktor: Q = ω_{0}/Δω

BØLGEFYSIKK

• Harmonisk plan bølge (forplantning i positiv x-retning):

ξ(x, t) = ξ_{0} sin(kx − ωt + ϕ)

k = 2π/λ ω = 2π/T = 2πf

• Bølgeligning:

\frac{∂^{2}ξ(x, t)}{∂x^{2}} = \frac{1}{v^{2}} \frac{∂^{2}ξ(x, t)}{∂t^{2}}

• Fasehastighet:

v = \frac{λ}{T} = \frac{ω}{k}

• Lineær respons i elastiske, isotrope medier (Hookes lov):

mekanisk spenning = elastisk modul × relativ tøyning

S = strekk-kraft, B = bulkmodul, E = elastisitetsmodul, G = skjærmodul

• For transversale bølger på streng:

v = \sqrt{\frac{S}{μ}}

• For longitudinale bølger (lydbølger) i fluider (gasser og væsker):

v = \sqrt{\frac{B}{ρ}}

• For longitudinale bølger i tynn stang (fast stoff):

v = \sqrt{\frac{E}{ρ}}

• For longitudinale (v_{P}) og transversale (v_{S}) bølger i faste stoffer (bulk):

v_{P} = \sqrt{\frac{B + 4G/3}{ρ}} ; v_{S} = \sqrt{\frac{G}{ρ}}

• Midlere energi pr lengdeenhet for harmonisk bølge på streng:

\overline{ε} = \frac{1}{2}μω^{2}y_{0}^{2}

• Midlere energi pr volumenhet for harmonisk plan longitudinal bølge (lydbølge):

\overline{ε} = \frac{1}{2}ρω^{2}ξ_{0}^{2}

• Midlere effekt transportert med harmonisk bølge på streng:

\overline{P} = v\overline{ε} = \frac{1}{2}vμω^{2}y_{0}^{2}

• (Midlere) Intensitet i harmonisk plan longitudinal bølge (lydbølge):

I = v\overline{ε} = \frac{1}{2}vρω^{2}ξ_{0}^{2}

• Lydhastighet i gass (m = (midlere) molekylmasse, γ = C_{p}/C_{V}):

v = \sqrt{\frac{γk_{B}T}{m}}

• Lydtrykk:

Δp = −B \frac{∂ξ}{∂x}

• Lydtrykksnivå:

β(dB) = 10 log \frac{I}{I_{0}} med I_{0} = 10^{−12} W/m^{2}

• Dopplereffekt:

f_{O} = \frac{v + v_{m} − v_{O}}{v + v_{m} − v_{S}} f_{S}

• Svevning (”interferens i tid”):

f_{S} = |f_{1} − f_{2}|

• Interferens (romlig):

I_{max} for d sin θ = n λ (n = 0, 1, 2, …)

TERMISK FYSIKK

• Utvidelseskoeffisienter (lineær og volum), trykk-koeffisient, isoterm kompressibilitet:

α = \frac{1}{L} (\frac{∂L}{∂T} )_{p} β = \frac{1}{V} (\frac{∂V}{∂T} )_{p} = 3α γ = \frac{1}{p} (\frac{∂p}{∂T} )_{V} κ = −\frac{1}{V} (\frac{∂V}{∂p} )_{T}

• Første hovedsetning:

dQ = dU + dW

• Varmekapasitet C, pr masseenhet c, pr mol c_{m}:

C = \frac{dQ}{dT} , c = C/M , c_{m} = C/n

• C_{p} og C_{V}:

C_{p} = (dQ/dT)_{p} , C_{V} = (dQ/dT)_{V}

For ideell gass: C_{p} − C_{V} = nR. Atomær gass: C_{V} = \frac{3}{2}nR. Toatomig gass: C_{V} = \frac{5}{2}nR • Den termodynamiske identitet:

T dS = dU + pdV

• Ideell gass:

pV = Nk_{B}T = nRT

⟨K_{trans}⟩ = \frac{3pV}{2N} = \frac{3}{2}k_{B}T

U = U(T) = N⟨K⟩

Atomær gass: U = \frac{3}{2}Nk_{B}T. Toatomig gass: U = \frac{5}{2}Nk_{B}T

• Adiabatisk prosess (dQ = 0) for ideell gass:

pV^{γ} = konst T V^{γ−1} = konst pT^{−γ/(γ−1)} = konst (γ = C_{p}/C_{V})

• Virkningsgrad for varmekraftmaskin:

η = |\frac{W}{Q_{2}} |

• Virkningsgrad for Carnot-varmekraftmaskin (Carnot-prosess: Q_{2}/T_{2} + Q_{1}/T_{1} = 0):

η_{C} = 1 − \frac{T_{1}}{T_{2}}

• Kjøleskap og varmepumpe, effektfaktor:

ε_{K} = |\frac{Q_{1}}{W} | , ε_{V} = |\frac{Q_{2}}{W} |

• Entropi (dQ er reversibelt tilført varme):

dS = \frac{dQ}{T} ∮ dS = 0

• Boltzmanns prinsipp:

S = k_{B} ln Ω

• Clapeyrons ligning:

\frac{dp}{dT} = \frac{L}{T ΔV}

• Damptrykk-kurven:

p_{d}(T) = p_{d}(T_{0}) exp [\frac{l}{R} (\frac{1}{T_{0}} − \frac{1}{T} )]

(l = molar latent varme, T_{0} = valgt referansetemperatur)

• Stefan-Boltzmanns lov (svart legeme: e = 1):

j(T) = e σ T^{4} (e = emissivitet; σ = 2π^{5}k_{B}^{4}/15h^{3}c^{2} = 5.67 · 10^{−8} W/m^{2}K^{4})

• Plancks fordelingslov:

j(T) = ∫_{0}^{∞} \frac{dj}{df} df med \frac{dj}{df} = \frac{2πhf^{3}/c^{2}}{exp(hf/k_{B}T) − 1}

j(T) = ∫_{0}^{∞} \frac{dj}{dλ} dλ med \frac{dj}{dλ} = \frac{2πhc^{2}/λ^{5}}{exp(hc/λk_{B}T) − 1}

• Wiens forskyvningslov:

Maksimal dj/dλ for λT = 2.90 · 10^{−3} m · K

• Varmeovergang:

j = −αΔT

• Stasjonær varmeledning i en dimensjon (Fouriers lov; κ = varmeledningsevne, a = tykkelse): j = −κΔT/a

• Varmemotstand R (P = jA = effekt):

ΔT = −RP = −\frac{a}{κA}P  Seriekobling : R = ∑_{j} R_{j}  Parallellkobling : \frac{1}{R} = ∑_{j} \frac{1}{R_{j}}

MIDDELVERDI OG FEIL I MÅLINGER • Gauss’ feilforplantningslov: (Δq)^{2} = ∑_{i=1}^{n} (\frac{∂q}{∂a_{i}} Δa_{i})^{2}

• Middelverdi (gjennomsnittsverdi): \overline{x} = \frac{1}{N} ∑_{i=1}^{N} x_{i}

• Standardavvik (feil i enkeltmåling): δ_{x} = \sqrt{(\frac{1}{N−1} ∑_{i=1}^{N} (x_{i} − \overline{x})^{2})}

• Standardfeil (feil i middelverdi): δ\overline{x} = δ_{x}/\sqrt{N} KONSTANTER, OMREGNINGSFAKTORER OG DEKADISKE PREFIKSER

• Fundamentale konstanter:

G = 6.67 · 10^{−11} Nm^{2}/kg^{2}
g = 9.81 m/s^{2})
m_{e} = 9.11 · 10^{−31} kg
m_{p} = m_{n} = 1.67 · 10^{−27} kg
k_{B} = 1.38 · 10^{−23} J/K
R = 8.314 J/mol K

N_{A} = R/k_{B} = 6.02 · 10^{23} mol^{−1}
h = 6.63 · 10^{−34} Js
h̄ = h/2π = 1.05 · 10^{−34} Js
e = 1.60 · 10^{−19} C
c = 3.00 · 10^{8} m/s
σ = 5.67 · 10^{−8} W/m^{2}K^{4}

• Omregningsfaktorer:

1 eV = 1.60 · 10^{−19} J
1 Å = 10^{−10} m
1 cal = 4.184 J
1 bar = 10^{5} Pa
1 atm = 1.013 · 10^{5} Pa
1 mmHg = 133.3 Pa

• Dekadiske prefikser: p = piko = 10^{−12}, n = nano = 10^{−9}, μ = mikro = 10^{−6}, m = milli = 10^{−3}, c = centi = 10^{−2}, k = kilo = 10^{3}, M = mega = 10^{6}, G = giga = 10^{9}