TFY4115 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten 2013. Øving 1. Tips.

\underline{Oppgave 1.} Bruk en eller flere av konstant-akselerasjonsligningene.

\underline{Oppgave 2.} a. Fra a = dv/dt, finn en differensialligning for v, dvs en ligning på formen

dv · (funksjon av v) = dt · (funksjon av t)

og integrer denne fra start (0, v_{0}) til et vilkårlig tidspunkt (t, v).

b. v(T) = \frac{1}{2}v_{0}.

\underline{Oppgave 3.} b. Velg utskytningsstedet som origo og finn uttrykk for x(t)-posisjonen og y(t)-posisjonen for pila. Pila treffer bakken når høyden y(t) er lik bakkehøyden ved samme x(t)-posisjon. Du får her bruk for tan α. Når du har funnet tida t_{b} for når bakken treffes, vil rekkevidden i x-retning være x(t_{b}) og rekkevidden langs planet gitt av denne og helningsvinkelen. c. Maksimer L(θ) mhp θ ved å derivere. På flat mark er det optimalt å kaste 45^{∘} oppover.

\underline{Oppgave 4.} a. Legg inn et koordinatsystem med x langs elvebredden og y på tvers. I figuren til venstre er referansesystemet fast i elvebredden betegnet O, mens referansesystemet som følger elvestrømmen er betegnet O’.

Vannets hastighet V = V x̂ er gitt i system O. Båtens hastighet i system O’ er som oppgitt

v′ = v′_{x}x̂ + v′_{y}ŷ,

og båtens hastighet i system O er

v = v′ + V osv …

b. Total tid er sammensatt av tida t_{r} for å ro over bredden pluss tida t_{g} for å gå til rett posisjon: t(θ) = t_{r}+t_{g}. Tida t_{r} er gitt av hastigheten v_{y}. Tida t_{g} er gitt av hvor man lander på den andre bredden (som er gitt av v_{x} og t_{r}) og gangfarten v_{g}.

c. Minimalisering: dt(θ)/dθ = 0. Svaret skal bli cos θ_{min} = −\frac{v′}{V + v_{g}} .

d. Overbevis deg om at kontrollen V = 0 ikke kan være riktig. Å krysse stillestående vann må være å ro rett over: θ_{min} = 90^{∘}. Problemet ligger i gangavstanden på den andre elvebredden funnet i b. Med direkte-fram regning antar vi at denne er positiv, dvs vi havner et sted nedenfor i den retning elva renner. Men hvis vi ikke gjør det (som er fullt matematisk mulig), må vi skifte et fortegn i uttrykket for t(θ). Vi får altså to ulike uttrykk som gjelder under ulike forhold, og det er noe mer arbeidsomt å finne minimum. Betingelsen for det enkleste svaret er at cos θ > −(V/v′). Overlater detaljene til den grundige student, fullstendig løsning vil du finne i øvingens løsningsforslag.