TFY4165/FY1005 6. juni 2013 Side 1 av 8

Eksamen FY1005/TFY4165 Termisk fysikk kl 15.00 - 19.00 torsdag 6. juni 2013

\underline{Oppgave 1.} Ti flervalgsoppgaver. (Poeng: 2 pr oppgave)

\underline{a}.

Varme tilføres et rent stoff i en lukket beholder. Tilført varme pr tidsenhet er konstant. Figuren viser hvordan stoffets temperatur T endrer seg med tiden. Hva er forholdet mellom stoffets smeltevarme L_{s} og stoffets fordampningsvarme L_{f}?

A L_{s}/L_{f} = 0.33 B L_{s}/L_{f} = 0.60 C L_{s}/L_{f} = 1.00 D L_{s}/L_{f} = 1.67

\underline{b}.

Figuren viser en reversibel kretsprosess der arbeidssubstansen er en gass. Hva er netto arbeid som utføres i kretsprosessen?

A Null.

B Arealet omsluttet av kurven abcda.

C Arealet under kurven abc.

D Arealet under kurven ab minus arealet under kurven dc.

\underline{c}. Vedrørende ligningen Q = ΔU + W, hvilken påstand er feil?

A Ligningen uttrykker energibevarelse. B W er arbeidet gjort av systemet. C Størrelsen Q kan være både positiv og negativ. D Mens Q er en prosessvariabel, er både U og W tilstandsvariable.

\underline{d}. Hvilken påstand om ulike termodynamiske prosesser er feil?

A I en isentropisk prosess er systemets indre energi konstant. B I en isobar prosess er trykket konstant. C I en adiabatisk prosess tilføres systemet ikke varme. D I en isoterm prosess er temperaturen konstant.

\underline{e}. I en gitt mengde ideell gass som fyller en beholder med volum V, er trykket p og midlere molekylfart v. Hvis volum og trykk endres til hhv 2V og 2p, hva blir da midlere molekylfart?

A 4v  B 2v  C v  D v/4

\underline{f}. Hva skjer med molekylenes midlere kinetiske energi når en ideell gass utvider seg ved konstant trykk?

A Den øker. B Den endrer seg ikke. C Den minker. D Den kan øke eller minke, men flere opplysninger trengs for å avgjøre hva som skjer.

\underline{g}.

Figuren viser en kretsprosess for en ideell gass, bestående av en isobar, en isokor og en adiabat. Ranger temperaturene i a, b og c.

A T_{b} > T_{a} = T_{c}. B T_{c} > T_{b} > T_{a}. C T_{b} > T_{a} > T_{c}. D T_{c} > T_{a} > T_{b}.

\underline{h}.

Med notasjonen g = gass, v = væske og f = fast stoff, hvilke faser opptrer i koeksistens i de ulike områdene?

A 1 = v + f, 2 = g + v, 3 = g + f B 1 = g + v, 2 = g + f, 3 = v + f C 1 = g + f, 2 = v + f, 3 = g + v D 1 = g + f, 2 = g + v, 3 = v + f

\underline{i}. Hva kalles punktet merket 4 i figuren i oppgave h?

A Kritisk punkt. B Trippelpunkt. C Kokepunkt. D Smeltepunkt.

\underline{j}.

Figuren viser koeksistenskurver i et pT -diagram. Hvilke prosesser foregår i tilstandene 1, 2 og 3?

A 1 = fordampning, 2 = smelting, 3 = sublimasjon B 1 = sublimasjon, 2 = fordampning, 3 = smelting C 1 = smelting, 2 = sublimasjon, 3 = fordampning D 1 = smelting, 2 = fordampning, 3 = sublimasjon \underline{Oppgave 2.} Kretsprosess. (Poeng: 5+3+4+8)

Figuren viser en kretsprosess som består av to isobarer og to isokorer. Arbeidssubstansen er en toatomig ideell gass med N molekyler, og α er en positiv konstant, større enn 1. Trykket p_{0} og volumet V_{0} kan anses som kjent.

\underline{a}. Bruk det klassiske ekvipartisjonsprinsippet til å begrunne at C_{V} = 5Nk/2 omkring romtemperatur. Hva er C_{p} omkring romtemperatur? Hva er C_{V} ved riktig høye temperaturer? Enn ved riktig lave temperaturer? Begrunn dine svar.

\underline{b}. Hva er arbeidet W som gassen utfører på sine omgivelser pr syklus?

\underline{c}. Bestem temperaturene T_{j} (j = 1, 2, 3, 4) i de fire avmerkede tilstandene i figuren.

\underline{d}. Bestem kretsprosessens virkningsgrad η(α) = W/Q_{inn}, der Q_{inn} er varmen som tilføres gassen pr syklus. Anta at hele syklusen foregår omkring romtemperatur, slik at C_{V} og C_{p} begge er konstante.

\underline{Oppgave 3.} Varmeledning i gass med sylindersymmetri. (Poeng: 10+5)

En fortynnet gass med atomer (”enatomige molekyler”) fyller rommet mellom en indre sylinder med radius r_{1} og et ytre sylinderskall med radius r_{2}, begge med så stor lengde L at vi kan se bort fra randeffekter og betrakte systemet som sylindersymmetrisk. Atomene har masse m og kan betraktes som harde kuler med radius a. Figuren til venstre viser et tverrsnitt av systemet.

\underline{a}. Anta at atomenes midlere fri veilengde λ er liten sammenlignet med avstanden r_{2} − r_{1} mellom indre og ytre sylinder. Da er gassens varmeledningsevne uavhengig av partikkeltettheten n = N/V, og gitt ved κ(T) = β\sqrt{T}, med β = 2c_{V} \sqrt{k}/(3σ\sqrt{πm}). Anta stasjonære forhold, med konstant temperatur T_{1} på indre sylinder og konstant temperatur T_{2} < T_{1} ved ytre sylinderskall, og bestem varmestrømmen pr lengdeenhet Q̇/L i den fortynnede gassen. (Tips: Bruk Fouriers lov og uttrykk svaret ved koeffisienten β samt de gitte temperaturene T_{1} og T_{2} og radiene r_{1} og r_{2}. Med sylindersymmetri er ∇T = r̂ dT/dr. Merk at κ ikke er konstant men avhenger av T. Vi ser bort fra varmeoverføring pga stråling.)

\underline{b}. Anta at gassen er argon, med m = 40 u og a = 0.71 Å, at indre sylinder har radius 3.5 cm og ytre sylinderskall har radius 4.0 cm, og at T_{1} = 100^{∘}C (kokende vann) og T_{2} = 20^{∘}C (romtemperatur). Regn ut tallverdi for varmestrømmen pr lengdeenhet, Q̇/L. Rund av til heltallig verdi i enheten W/m.

\underline{Oppgave 4.} System med tre ekvidistante energinivåer. (Poeng: 5+5)

Et system med ikke-vekselvirkende partikler er i termisk likevekt med et varmereservoar som har temperatur T. En gitt partikkel befinner seg i en av tre mulige tilstander, og da med energi E_{j} = j E_{0}, der j = 1, 2, 3 nummererer de tre mulige tilstandene. E_{0} er en konstant som angir energiforskjellen mellom ”nabonivåer”, dvs mellom nivå 1 og 2 og mellom nivå 2 og 3. Det er ingen begrensning på antall partikler som kan befinne seg i en gitt energitilstand.

\underline{a}. Bestem sannsynlighetene π_{j} (j = 1, 2, 3) for at en gitt partikkel befinner seg i tilstand j med energi E_{j}. Kontroller at verdien av ∑_{j=1}^{3} π_{j} er som forventet. Hva blir de ulike π_{j} i grensene kT ≪ E_{0} (dvs T → 0) og kT ≫ E_{0} (dvs T → ∞)?

\underline{b}. Bestem midlere energi pr partikkel, ⟨E⟩. Hva blir ⟨E⟩ i grensene kT ≪ E_{0} (T → 0) og kT ≫ E_{0} (T → ∞)?

\underline{Oppgave 5.} Helmholtz fri energi. (Poeng: 5)

Naturlige variable for Helmholtz fri energi F er T og V. Vis dette ved å uttrykke dF ved dT og dV, og bestem dermed (∂F/∂T)_{V} og (∂F/∂V)_{T}. Utled også Maxwell-relasjonen (∂p/∂T)_{V} = (∂S/∂V)_{T}. (Tips: Benytt den termodynamiske identitet, med konstant partikkeltall N.)

\underline{Oppgave 6.} Damptrykk. (Poeng: 4+8+8)

Figuren viser målte molare fordampningsvarmer som funksjon av temperaturen, l_{f}(T) (kJ/mol), for vann og tre andre stoffer. Vi skal bruke kurven for vann (”Water”) og Clausius-Clapeyrons ligning til å beregne metningstrykket for vanndamp, p(T), heretter kalt damptrykket. Av figuren ser vi at en lineær tilnærmelse,

l_{f}(T) = α − βT,

vil gi brukbar tilpasning til den målte fordampningsvarmen i temperaturområdet 280 K < T < 440 K, med l_{f}(280) = 45 kJ/mol og l_{f}(440) = 37 kJ/mol.

\underline{a}. Bestem koeffisientene α og β i den lineære tilnærmelsen for l_{f}(T). Angi enheter.

\underline{b}. Finn et uttrykk for damptrykket p(T), med utgangspunkt i Clausius-Clapeyrons ligning, som beskriver helningen til damptrykk-kurven, dvs dp/dT. Bruk vannets trippelpunkt som referanse, dvs p_{0} = 611 Pa ved T_{0} = 273.16 K, og bruk den lineære tilnærmelsen for vannets molare fordampningsvarme, slik at p(T) uttrykkes ved p_{0}, T_{0}, α, β, R (gasskonstanten), og T. Anta at ΔV = V_{g} − V_{v} ≃ V_{g}, og bruk ideell gass tilstandsligning for gassvolumet V_{g}(p, T).

\underline{c}. Den lineære tilnærmelsen for l_{f}(T) blir gradvis dårligere for temperaturer over 440 K, men funksjonen

l_{f}(T) = l_{f}^{0} (1 − \frac{T}{T_{c}} )^{1/3} ,

med l_{f}^{0} = 54 kJ/mol og T_{c} = 647 K, viser seg å beskrive den målte fordampningsvarmen ganske bra helt opp til det kritiske punkt (se figuren til høyre). Vis hvordan damptrykket p(T) nå kan beregnes numerisk med utgangspunkt i Clausius-Clapeyrons ligning, og med trippelpunktet (T_{0}, p_{0}) som startverdi for en enkel iterativ metode. Bruk de samme tilnærmelsene for ΔV som i punkt b. (Tips: Det er ikke nødvendig å skrive et program, men det skal framgå av besvarelsen hvordan p(T_{0}+ΔT) bestemmes fra p(T_{0}) = p_{0}, og mer generelt hvordan p[T_{0}+(j +1)ΔT] bestemmes fra p[T_{0} + jΔT].

Hvorfor blir tilnærmelsen ΔV ≃ V_{g} dårlig når vi nærmer oss det kritiske punkt?

FORMLER OG UTTRYKK. Formlenes gyldighetsområde og symbolenes betydning antas å være kjent. Symbolbruk og betegnelser som i forelesningene. Vektorer med fete typer.

Utvidelseskoeffisienter, trykk-koeffisient, isoterm kompressibilitet:

α_{L} = \frac{1}{L} (\frac{∂L}{∂T} )_{p} α_{V} = \frac{1}{V} (\frac{∂V}{∂T} )_{p} α_{p} = \frac{1}{p} (\frac{∂p}{∂T} )_{V} κ_{T} = −\frac{1}{V} (\frac{∂V}{∂p} )_{T}

Syklisk regel:

(\frac{∂x}{∂y})_{z} (\frac{∂y}{∂z} )_{x} (\frac{∂z}{∂x})_{y} = −1

Første hovedsetning:

d̄Q = dU +d̄W

Varmekapasitet:

C = \frac{d̄Q}{dT}

C_{p} − C_{V} = T (\frac{∂p}{∂T} )_{V} (\frac{∂V}{∂T} )_{p} .

Termodynamiske potensialer:

H = U + pV F = U − T S G = H − T S G = ∑_{j} μ_{j}N_{j}

Den termodynamiske identitet:

T dS = dU + pdV − ∑_{j} μ_{j}dN_{j}

Ideell gass tilstandsligning:

pV = NkT = nRT

van der Waals tilstandsligning:

p = \frac{NkT}{V − Nb} − \frac{aN^{2}}{V^{2}}

Adiabatisk prosess:

d̄Q = 0

Joule-Thomson-koeffisienten:

μ_{JT} = (\frac{∂T}{∂p} )_{H}

PCH 4.18:

(\frac{∂U}{∂V} )_{T} = T (\frac{∂p}{∂T} )_{V} − p

Virkningsgrad for varmekraftmaskin:

η = \frac{W}{Q_{inn}}

Virkningsgrad for Carnot-maskin:

η_{C} = 1 − \frac{T_{1}}{T_{2}}

TFY4165/FY1005 6. juni 2013 Side 7 av 8 Maxwells hastighetsfordeling:

g(v_{x}) = (\frac{m}{2πkT} )^{1/2} e^{−mv_{x}^{2}/2kT} F (v) = (\frac{m}{2πkT} )^{3/2} e^{−mv^{2}/2kT} f(v) = 4π (\frac{m}{2πkT} )^{3/2} v^{2}e^{−mv^{2}/2kT}

Gauss-integraler:

I_{0}(α) = ∫_{−∞}^{∞} e^{−αx^{2}}dx = \sqrt{\frac{π}{α}}

I_{2}(α) = ∫_{−∞}^{∞} x^{2}e^{−αx^{2}}dx = −\frac{d}{dα}I_{0}(α) etc

Det klassiske ekvipartisjonsprinsippet: Hver frihetsgrad som inngår kvadratisk i energifunksjonen E bidrar med kT/2 til midlere energi. Partisjonsfunksjon:

Z = ∑_{j} e^{−E_{j}/kT} = e^{−βF} (β = 1/kT)

Kjøleskap, virkningsgrad (effektfaktor):

ε_{K} = |\frac{Q_{ut}}{W} |

Varmepumpe, virkningsgrad (effektfaktor):

ε_{V} = |\frac{Q_{inn}}{W} |

Entropi og Clausius’ ulikhet:

dS = \frac{d̄Q_{rev}}{T} ∮ dS = 0 ∮ \frac{d̄Q}{T} ≤ 0

Boltzmanns prinsipp:

S = k ln W

Stirlings formel:

N! = \sqrt{2πN}N^{N}e^{−N} (N → ∞)

Eksergi:

W_{max} = −ΔG med G = U − T_{0}S + p_{0}V

Kjemisk potensial:

μ_{j} = (\frac{∂G}{∂N_{j}} )_{p,T,N_{i≠j}}

Ideell blanding:

ΔS_{mix} = −k ∑_{j} N_{j} ln x_{j} μ_{j} = μ_{j}^{0} + kT ln x_{j}

Clausius-Clapeyrons ligning:

\frac{dp}{dT} = \frac{ΔS}{ΔV}

Strålingshulrom, frekvensfordeling:

\frac{du}{df} = \frac{8πh}{c^{3}} \frac{f^{3}}{exp(hf/kT) − 1}

Stefan-Boltzmanns lov:

I(T) = \frac{c}{4} u(T) = σ T^{4} (σ = 2π^{5}k^{4}/15h^{3}c^{2})

TFY4165/FY1005 6. juni 2013 Side 8 av 8 Fouriers lov:

j = −κ∇T ; j = Q̇/A

Varmeledningsligningen:

\frac{∂T}{∂t} = D_{T} ∇^{2}T

Ficks lov:

j = −D∇n

Diffusjonsligningen:

\frac{∂n}{∂t} = D∇^{2}n

U-verdi:

j = UΔT

Midlere fri veilengde, fortynnet gass:

λ = \frac{1}{\sqrt{2}nσ}

Varmeledningsevne, fortynnet gass:

κ = \frac{2c_{V}}{3σ} \sqrt{\frac{kT}{πm}}

Diffusjonskonstant, fortynnet gass:

D = \frac{κ}{nc_{V}}

Fysiske konstanter:

k = 1.38 · 10^{−23} J/K
R = 8.314 J/mol K
N_{A} = 6.02 · 10^{23} mol^{−1}
h = 6.63 · 10^{−34} Js
e = 1.60 · 10^{−19} C
m_{e} = 9.11 · 10^{−31} kg
u = 1.66 · 10^{−27} kg
c = 3.00 · 10^{8} m/s
σ = 5.67 · 10^{−8} W/m^{2}K^{4}

Omregningsfaktorer:

1 eV = 1.60 · 10^{−19} J
1 Å = 10^{−10} m
1 cal = 4.184 J
1 bar = 10^{5} Pa
1 atm = 1.013 · 10^{5} Pa

GOD SOMMER!