FY1005/TFY4165 Termisk fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Våren 2013.

Løsningsforslag til øving 5

Maxwellfordelingen

a) Med uavhengige hastighetskomponenter har vi ganske enkelt

F (v) = g(v_{x}) · g(v_{y}) = \frac{B}{π} e^{−Bv^{2}},

der v^{2} = v_{x}^{2} + v_{y}^{2}.

Analogt det vi gjorde i forelesningene (for tredimensjonal hastighetsfordeling, notatene s 36) har vi nå, i to dimensjoner:

f(v)dv = ∫_{ϕ=0}^{2π} F (v)dv v dϕ = 2πvF (v)dv,

dvs

f(v) = 2πvF (v) = 2Bve^{−Bv^{2}}.

b) Se MATLAB-programmet losning5.m. (Noen variabelnavn er endret i forhold til maxwell.m.) Jeg har valgt å tallfeste konstanten B med utgangspunkt i de eksperimentelle data,

B = B_{exp} = \frac{1}{⟨v^{2}⟩_{exp}} = 5.9394 · 10^{−4} (s/cm)^{2},

siden

⟨v^{2}⟩ = ⟨v_{x}^{2}⟩ + ⟨v_{y}^{2}⟩ = \frac{1}{B} .

c) Skivene har rms-fart 0.41 m/s, og massen er 0.032 kg. Dette tilsvarer en kinetisk energi pr ”partikkel” av størrelsesorden 2.7 mJ. Setter vi dette lik termisk energi kT (med k = Boltzmanns konstant), finner vi en temperatur T ∼ 2 · 10^{20} K. Det er åpenbart ikke særlig meningsfylt å bruke ekvipartisjonsprinsippet for makroskopiske objekter som disse skivene.

d) Se losning5.m for de to første kulepunktene. Det umiddelbare inntrykket av posisjonsfordelingen er vel at skivene er noenlunde jevnt fordelt over hele bildet, mens hastighetsfordelingen i større grad avtar ”radielt” utover.