TFY4165/FY1005 6. juni 2013 Side 1 av 8

Eksamen FY1005/TFY4165 Termisk fysikk kl 15.00 - 19.00 torsdag 6. juni 2013

\underline{Oppgåve 1.} Ti fleirvalsoppgåver. (Poeng: 2 pr oppgåve)

\underline{a}.

Varme vert tilført eit reint stoff i ein lukka beholder. Tilført varme pr tidseining er konstant. Figuren syner korleis stoffet sin temperatur T endrar seg med tida. Kva er forholdet mellom stoffet sin smeltevarme L_{s} og stoffet sin fordampingsvarme L_{f}?

A L_{s}/L_{f} = 0.33 B L_{s}/L_{f} = 0.60 C L_{s}/L_{f} = 1.00 D L_{s}/L_{f} = 1.67

\underline{b}.

Figuren syner ein reversibel kretsprosess der arbeidssubstansen er ein gass. Kva er netto arbeid som vert utført i kretsprosessen?

A Null.

B Arealet omslutta av kurva abcda.

C Arealet under kurva abc.

D Arealet under kurva ab minus arealet under kurva dc.

\underline{c}. Vedrørande likninga Q = ΔU + W, kva for ein påstand er feil?

A Likninga uttrykkjer energibevaring. B W er arbeidet gjort av systemet. C Storleiken Q kan vere både positiv og negativ. D Medan Q er ein prosessvariabel, er både U og W tilstandsvariable.

\underline{d}. Kva for ein påstand om ulike termodynamiske prosessar er feil?

A I ein isentropisk prosess er systemet sin indre energi konstant. B I ein isobar prosess er trykket konstant. C I ein adiabatisk prosess vert systemet ikkje tilført varme. D I ein isoterm prosess er temperaturen konstant.

\underline{e}. I ei gitt mengd ideell gass som fyller ein beholder med volum V, er trykket p og midlere molekylfart v. Viss volum og trykk vert endra til hhv 2V og 2p, kva blir då midlere molekylfart?

A 4v  B 2v  C v  D v/4

\underline{f}. Kva skjer med molekyla sin midlere kinetiske energi når ein ideell gass utvider seg ved konstant trykk?

A Den auker. B Den endrer seg ikkje. C Den minker. D Den kan auke eller minke, men fleire opplysningar trengs for å avgjere kva som skjer.

\underline{g}.

Figuren syner ein kretsprosess for ein ideell gass, beståande av ein isobar, ein isokor og ein adiabat. Ranger temperaturane i a, b og c.

A T_{b} > T_{a} = T_{c}. B T_{c} > T_{b} > T_{a}. C T_{b} > T_{a} > T_{c}. D T_{c} > T_{a} > T_{b}.

\underline{h}.

Med notasjonen g = gass, v = væske og f = fast stoff, kva for faser opptrer i koeksistens i dei ulike områda?

A 1 = v + f, 2 = g + v, 3 = g + f B 1 = g + v, 2 = g + f, 3 = v + f C 1 = g + f, 2 = v + f, 3 = g + v D 1 = g + f, 2 = g + v, 3 = v + f

\underline{i}. Kva kaller vi punktet merka 4 i figuren i oppgåve h?

A Kritisk punkt. B Trippelpunkt. C Kokepunkt. D Smeltepunkt.

\underline{j}.

Figuren syner koeksistenskurver i eit pT -diagram. Kva for prosessar går føre seg i tilstandane 1, 2 og 3?

A 1 = fordamping, 2 = smelting, 3 = sublimasjon B 1 = sublimasjon, 2 = fordamping, 3 = smelting C 1 = smelting, 2 = sublimasjon, 3 = fordamping D 1 = smelting, 2 = fordamping, 3 = sublimasjon \underline{Oppgåve 2.} Kretsprosess. (Poeng: 5+3+4+8)

Figuren syner ein kretsprosess som består av to isobarar og to isokorar. Arbeidssubstansen er ein toatomig ideell gass med N molekyl, og α er ein positiv konstant, større enn 1. Trykket p_{0} og volumet V_{0} kan ansjåast som kjent.

\underline{a}. Bruk det klassiske ekvipartisjonsprinsippet til å begrunne at C_{V} = 5Nk/2 omkring romtemperatur. Kva er C_{p} omkring romtemperatur? Kva er C_{V} ved riktig høge temperaturar? Enn ved riktig låge temperaturar? Grunngje svara dine.

\underline{b}. Kva er arbeidet W som gassen utfører på sine omgjevnadar pr syklus?

\underline{c}. Bestem temperaturane T_{j} (j = 1, 2, 3, 4) i dei fire avmerka tilstandane i figuren.

\underline{d}. Bestem kretsprosessen sin virkningsgrad η(α) = W/Q_{inn}, der Q_{inn} er varmen som vert tilført gassen pr syklus. Anta at heile syklusen går føre seg omkring romtemperatur, slik at C_{V} og C_{p} begge er konstante.

\underline{Oppgåve 3.} Varmeleiing i gass med sylindersymmetri. (Poeng: 10+5)

Ein fortynna gass med atom (”einatomige molekyl”) fyller rommet mellom ein indre sylinder med radius r_{1} og eit ytre sylinderskal med radius r_{2}, begge med så stor lengd L at vi kan sjå bort frå randeffektar og betrakte systemet som sylindersymmetrisk. Atoma har masse m og kan sjåast på som harde kuler med radius a. Figuren til venstre syner eit tverrsnitt av systemet.

\underline{a}. Anta at atoma si midlere fri veglengd λ er liten samanlikna med avstanden r_{2} − r_{1} mellom indre og ytre sylinder. Då er gassen si varmeleiingsevne uavhengig av partikkeltettleiken n = N/V, og gjeve ved κ(T) = β\sqrt{T}, med β = 2c_{V} \sqrt{k}/(3σ\sqrt{πm}). Anta stasjonære forhold, med konstant temperatur T_{1} på indre sylinder og konstant temperatur T_{2} < T_{1} ved ytre sylinderskal, og bestem varmestraumen pr lengdeining Q̇/L i den fortynna gassen. (Tips: Bruk Fourier sin lov og uttrykk svaret ved koeffisienten β samt dei gjevne temperaturane T_{1} og T_{2} og radiane r_{1} og r_{2}. Med sylindersymmetri er ∇T = r̂ dT/dr. Merk at κ ikkje er konstant men avheng av T. Vi ser bort frå varmeoverføring pga stråling.)

\underline{b}. Anta at gassen er argon, med m = 40 u og a = 0.71 Å, at indre sylinder har radius 3.5 cm og ytre sylinderskal har radius 4.0 cm, og at T_{1} = 100^{∘}C (kokande vatn) og T_{2} = 20^{∘}C (romtemperatur). Rekn ut talverdi for varmestraumen pr lengdeining, Q̇/L. Rund av til heiltalig verdi i eininga W/m.

\underline{Oppgåve 4.} System med tre ekvidistante energinivå. (Poeng: 5+5)

Eit system med ikkje-vekselverkande partiklar er i termisk jamvekt med eit varmereservoar som har temperatur T. Ein gitt partikkel befinn seg i ein av tre moglege tilstandar, og då med energi E_{j} = j E_{0}, der j = 1, 2, 3 nummererar dei tre moglege tilstandane. E_{0} er ein konstant som angjev energiskilnaden mellom ”nabonivå”, dvs mellom nivå 1 og 2 og mellom nivå 2 og 3. Det er inga avgrensing på antall partiklar som kan befinne seg i ein gitt energitilstand.

\underline{a}. Bestem sannsyna π_{j} (j = 1, 2, 3) for at ein gitt partikkel befinn seg i tilstand j med energi E_{j}. Kontroller at verdien av ∑_{j=1}^{3} π_{j} er som forventa. Kva blir dei ulike π_{j} i grensene kT ≪ E_{0} (dvs T → 0) og kT ≫ E_{0} (dvs T → ∞)?

\underline{b}. Bestem midlere energi pr partikkel, ⟨E⟩. Kva blir ⟨E⟩ i grensene kT ≪ E_{0} (T → 0) og kT ≫ E_{0} (T → ∞)?

\underline{Oppgåve 5.} Helmholtz fri energi. (Poeng: 5)

Naturlege variable for Helmholtz fri energi F er T og V. Vis dette ved å uttrykkje dF ved dT og dV, og bestem dermed (∂F/∂T)_{V} og (∂F/∂V)_{T}. Utlei og Maxwell-relasjonen (∂p/∂T)_{V} = (∂S/∂V)_{T}. (Tips: Nytt den termodynamiske identitet, med konstant partikkeltal N.)

\underline{Oppgåve 6.} Damptrykk. (Poeng: 4+8+8)

Figuren syner målte molare fordampingsvarmer som funksjon av temperaturen, l_{f}(T) (kJ/mol), for vatn og tre andre stoff. Vi skal bruke kurven for vatn (”Water”) og Clausius-Clapeyrons likning til å berekne mettingstrykket for vanndamp, p(T), heretter kalla damptrykket. Av figuren ser vi at ei lineær tilnærming,

l_{f}(T) = α − βT,

vil gje brukbar tilpasning til den målte fordampingsvarmen i temperaturområdet 280 K < T < 440 K, med l_{f}(280) = 45 kJ/mol og l_{f}(440) = 37 kJ/mol.

\underline{a}. Bestem koeffisientane α og β i den lineære tilnærminga for l_{f}(T). Angi eininger.

\underline{b}. Finn eit uttrykk for damptrykket p(T), med utgangspunkt i Clausius-Clapeyrons likning, som beskriv hellinga til damptrykk-kurva, dvs dp/dT. Bruk vatnet sitt trippelpunkt som referanse, dvs p_{0} = 611 Pa ved T_{0} = 273.16 K, og bruk den lineære tilnærminga for vatnet sin molare fordampingsvarme, slik at p(T) vert uttrykt ved p_{0}, T_{0}, α, β, R (gasskonstanten), og T. Anta at ΔV = V_{g} − V_{v} ≃ V_{g}, og bruk ideell gass tilstandslikning for gassvolumet V_{g}(p, T).

\underline{c}. Den lineære tilnærminga for l_{f}(T) blir gradvis dårlegere for temperaturar over 440 K, men funksjonen

l_{f}(T) = l_{f}^{0} (1 − \frac{T}{T_{c}} )^{1/3} ,

med l_{f}^{0} = 54 kJ/mol og T_{c} = 647 K, viser seg å beskrive den målte fordampingsvarmen ganske bra heilt opp til det kritiske punktet (sjå figuren til høgre). Vis korleis damptrykket p(T) nå kan bereknast numerisk med utgangspunkt i Clausius-Clapeyrons likning, og med trippelpunktet (T_{0}, p_{0}) som startverdi for ein enkel iterativ metode. Bruk dei same tilnærmingane for ΔV som i punkt b. (Tips: Det er ikkje naudsynt å skrive eit program, men det skal framgå av besvarelsen korleis p(T_{0} + ΔT) vert bestemt frå p(T_{0}) = p_{0}, og meir generelt korleis p[T_{0} + (j + 1)ΔT] vert bestemt frå p[T_{0} + jΔT].

Kvifor blir tilnærminga ΔV ≃ V_{g} dårleg når vi nærmer oss det kritiske punktet?

FORMLER OG UTTRYKK. Formlenes gyldighetsområde og symbolenes betydning antas å være kjent. Symbolbruk og betegnelser som i forelesningene. Vektorer med fete typer.

Utvidelseskoeffisienter, trykk-koeffisient, isoterm kompressibilitet:

α_{L} = \frac{1}{L} (\frac{∂L}{∂T} )_{p} α_{V} = \frac{1}{V} (\frac{∂V}{∂T} )_{p} α_{p} = \frac{1}{p} (\frac{∂p}{∂T} )_{V} κ_{T} = −\frac{1}{V} (\frac{∂V}{∂p} )_{T}

Syklisk regel:

(\frac{∂x}{∂y})_{z} (\frac{∂y}{∂z} )_{x} (\frac{∂z}{∂x})_{y} = −1

Første hovedsetning:

d̄Q = dU +d̄W

Varmekapasitet:

C = \frac{d̄Q}{dT}

C_{p} − C_{V} = T (\frac{∂p}{∂T} )_{V} (\frac{∂V}{∂T} )_{p} .

Termodynamiske potensialer:

H = U + pV F = U − T S G = H − T S G = ∑_{j} μ_{j}N_{j}

Den termodynamiske identitet:

T dS = dU + pdV − ∑_{j} μ_{j}dN_{j}

Ideell gass tilstandsligning:

pV = NkT = nRT

van der Waals tilstandsligning:

p = \frac{NkT}{V − Nb} − \frac{aN^{2}}{V^{2}}

Adiabatisk prosess:

d̄Q = 0

Joule-Thomson-koeffisienten:

μ_{JT} = (\frac{∂T}{∂p} )_{H}

PCH 4.18:

(\frac{∂U}{∂V} )_{T} = T (\frac{∂p}{∂T} )_{V} − p

Virkningsgrad for varmekraftmaskin:

η = \frac{W}{Q_{inn}}

Virkningsgrad for Carnot-maskin:

η_{C} = 1 − \frac{T_{1}}{T_{2}}

TFY4165/FY1005 6. juni 2013 Side 7 av 8 Maxwells hastighetsfordeling:

g(v_{x}) = (\frac{m}{2πkT} )^{1/2} e^{−mv_{x}^{2}/2kT} F (v) = (\frac{m}{2πkT} )^{3/2} e^{−mv^{2}/2kT} f(v) = 4π (\frac{m}{2πkT} )^{3/2} v^{2}e^{−mv^{2}/2kT}

Gauss-integraler:

I_{0}(α) = ∫_{−∞}^{∞} e^{−αx^{2}}dx = \sqrt{\frac{π}{α}}

I_{2}(α) = ∫_{−∞}^{∞} x^{2}e^{−αx^{2}}dx = −\frac{d}{dα}I_{0}(α) etc

Det klassiske ekvipartisjonsprinsippet: Hver frihetsgrad som inngår kvadratisk i energifunksjonen E bidrar med kT/2 til midlere energi. Partisjonsfunksjon:

Z = ∑_{j} e^{−E_{j}/kT} = e^{−βF} (β = 1/kT)

Kjøleskap, virkningsgrad (effektfaktor):

ε_{K} = |\frac{Q_{ut}}{W} |

Varmepumpe, virkningsgrad (effektfaktor):

ε_{V} = |\frac{Q_{inn}}{W} |

Entropi og Clausius’ ulikhet:

dS = \frac{d̄Q_{rev}}{T} ∮ dS = 0 ∮ \frac{d̄Q}{T} ≤ 0

Boltzmanns prinsipp:

S = k ln W

Stirlings formel:

N! = \sqrt{2πN}N^{N}e^{−N} (N → ∞)

Eksergi:

W_{max} = −ΔG med G = U − T_{0}S + p_{0}V

Kjemisk potensial:

μ_{j} = (\frac{∂G}{∂N_{j}} )_{p,T,N_{i≠j}}

Ideell blanding:

ΔS_{mix} = −k ∑_{j} N_{j} ln x_{j} μ_{j} = μ_{j}^{0} + kT ln x_{j}

Clausius-Clapeyrons ligning:

\frac{dp}{dT} = \frac{ΔS}{ΔV}

Strålingshulrom, frekvensfordeling:

\frac{du}{df} = \frac{8πh}{c^{3}} \frac{f^{3}}{exp(hf/kT) − 1}

Stefan-Boltzmanns lov:

I(T) = \frac{c}{4} u(T) = σ T^{4} (σ = 2π^{5}k^{4}/15h^{3}c^{2})

TFY4165/FY1005 6. juni 2013 Side 8 av 8 Fouriers lov:

j = −κ∇T ; j = Q̇/A

Varmeledningsligningen:

\frac{∂T}{∂t} = D_{T} ∇^{2}T

Ficks lov:

j = −D∇n

Diffusjonsligningen:

\frac{∂n}{∂t} = D∇^{2}n

U-verdi:

j = UΔT

Midlere fri veilengde, fortynnet gass:

λ = \frac{1}{\sqrt{2}nσ}

Varmeledningsevne, fortynnet gass:

κ = \frac{2c_{V}}{3σ} \sqrt{\frac{kT}{πm}}

Diffusjonskonstant, fortynnet gass:

D = \frac{κ}{nc_{V}}

Fysiske konstanter:

k = 1.38 · 10^{−23} J/K
R = 8.314 J/mol K
N_{A} = 6.02 · 10^{23} mol^{−1}
h = 6.63 · 10^{−34} Js
e = 1.60 · 10^{−19} C
m_{e} = 9.11 · 10^{−31} kg
u = 1.66 · 10^{−27} kg
c = 3.00 · 10^{8} m/s
σ = 5.67 · 10^{−8} W/m^{2}K^{4}

Omregningsfaktorer:

1 eV = 1.60 · 10^{−19} J
1 Å = 10^{−10} m
1 cal = 4.184 J
1 bar = 10^{5} Pa
1 atm = 1.013 · 10^{5} Pa

GOD SUMAR!