TFY4115 Fysikk Eksamen 18. desember 2013 Side 15 av 18 FORMLER: Fete symboler angir vektorer. Symboler med hatt over angir enhetsvektorer. Formlenes gyldighetsområde og de ulike symbolenes betydning antas forøvrig å være kjent. Symbolbruk og betegnelser som i forelesningene. MEKANISK FYSIKK

• Newtons andre lov: F = dp/dt  p = mv = mṙ
• Konstant akselerasjon: v = v_{0} + at  x = x_{0} + v_{0}t + \frac{1}{2}at^{2}
• Konstant vinkelakselerasjon: ω = ω_{0} + αt  θ = θ_{0} + ω_{0}t + \frac{1}{2}αt^{2}
• Arbeid: dW = F · dr  Kinetisk energi: K = \frac{1}{2}mv^{2}
• Konservativ kraft og potensiell energi: U(r) = − ∫\begin{matrix}r \\ r & 0 \end{matrix} F · dr  F = −∇U(r)
• Friksjon,  statisk: f ≤ μ_{s}N  kinetisk: f = μ_{k}N
• Luftmotstand (liten v): f = −kv  Luftmotstand (stor v): f = −Dv^{2}v̂
• Tyngdepunkt: R^{CM} = \frac{1}{M} ∑_{i} r^{i}m^{i} → \frac{1}{M} ∫ r · dm
• Sirkelbevegelse: v = rω Sentripetalakselerasjon: a = −v^{2}/r Baneakselerasjon: a = dv/dt = r dω/dt
• Dreiemoment: τ = (r − r_{0}) × F  Statisk likevekt: ΣF_{i} = 0 Στ_{i} = 0
• Dreieimpuls: L = (r − r_{0}) × p  N2 rotasjon: τ = dL/dt
• Stive legemer, sylindersymmetri mhp rotasjonsaksen: L = L_{b} + L_{s} = (R_{CM} − r_{0}) × MV + I_{0}ω
• Kinetisk energi, stivt legeme: K = \frac{1}{2}MV^{2} + \frac{1}{2}I^{0}ω^{2}  Treghetsmoment: I = ∑_{i} m^{i}r_{i}^{2} → ∫ r^{2}dm
• Steiners sats (parallellakseteoremet): I = I_{0} + Md^{2}
• Gravitasjon: F = −\frac{GMm}{r^{2}} r̂ U(r) = −\frac{GMm}{r} g = F /m
• Enkel harmonisk oscillator: ẍ + ω_{0}^{2}x = 0 T = 2π/ω_{0} f = 1/T = ω_{0}/2π

Masse i fjær: ω_{0} = \sqrt{k/m} Matematisk pendel: ω_{0} = \sqrt{g/L}

• Fri, dempet svingning, langsom bevegelse i fluid:  mẍ + bẋ + kx = 0
⇒ ẍ + 2γẋ + ω_{0}^{2}x = 0  ω_{0}^{2} = k/m  γ = b/2m
Underkritisk demping (γ < ω_{0})  x(t) = Ae^{−γt} sin(ωt + ϕ)  ω = \sqrt{ω_{0}^{2} − γ^{2}}
Overkritisk demping (γ > ω_{0})  x(t) = Ae^{−α_{1}t} + Be^{−α_{2}t}  α_{1,2} = γ ± \sqrt{γ^{2} − ω_{0}^{2}}

Kritisk demping (γ = ω_{0}) x(t) = Ae^{−γt} + Bte^{−γt} TFY4115 Fysikk Eksamen 18. desember 2013 Side 16 av 18

• Tvungen svingning, harmonisk ytre kraft:  mẍ + bẋ + kx = F_{0} cos ωt

(partikulær-)løsning: x(t) = A(ω) sin(ωt + ϕ(ω))

amplitude: A(ω) = \frac{F_{0}/m}{\sqrt{(ω^{2} − ω_{0}^{2})^{2} + (2γω)^{2}}}

TERMISK FYSIKK

• Utvidelseskoeffisienter (lineær og volum), trykk-koeffisient, isoterm kompressibilitet:

α = \frac{1}{L} (\frac{∂L}{∂T} )_{p} β = \frac{1}{V} (\frac{∂V}{∂T} )_{p} = 3α γ = \frac{1}{p} (\frac{∂p}{∂T} )_{V} κ = −\frac{1}{V} (\frac{∂V}{∂p} )_{T}

• Første hovedsetning:

dQ = dU + dW

• Varmekapasitet C, pr masseenhet c, pr mol c_{m}:

C = \frac{dQ}{dT} , c = C/M , c_{m} = C/n

• C_{p} og C_{V}:

C_{p} = (dQ/dT)_{p} , C_{V} = (dQ/dT)_{V}

C_{p} − C_{V} = T (\frac{∂p}{∂T} )_{V} (\frac{∂V}{∂T} )_{p}

C_{p} − C_{V} = nR for ideell gass

• Den termodynamiske identitet:

T dS = dU + pdV

• Ideell gass tilstandsligning:

pV = Nk_{B}T = nRT

• van der Waals tilstandsligning:

p = \frac{Nk_{B}T}{V − Nb} − \frac{aN^{2}}{V^{2}}

• Adiabatisk prosess:

dQ = 0

• ”Overraskende nyttig relasjon”:

(\frac{∂U}{∂V} )_{T} = T (\frac{∂p}{∂T} )_{V} − p

• Virkningsgrad for varmekraftmaskin:

η = \frac{W}{Q_{2}}

• Virkningsgrad for Carnot-maskin:

η_{C} = 1 − \frac{T_{1}}{T_{2}}

TFY4115 Fysikk Eksamen 18. desember 2013 Side 17 av 18

• Maxwells hastighetsfordeling:

for hastighetskomponentene:

g(v_{x}) = (\frac{m}{2πk_{B}T} )^{1/2} e^{−mv_{x}^{2}/2k_{B}T}

for hastigheten:

F (v) = (\frac{m}{2πk_{B}T} )^{3/2} e^{−mv^{2}/2k_{B}T}

for hastighetens absoluttverdi:

f(v) = 4π (\frac{m}{2πk_{B}T} )^{3/2} v^{2}e^{−mv^{2}/2k_{B}T}

• Gauss-integraler:

I_{0}(α) = ∫_{−∞}^{∞} e^{−αx^{2}}dx = \sqrt{\frac{π}{α}}

I_{2}(α) = ∫_{−∞}^{∞} x^{2}e^{−αx^{2}}dx = −\frac{d}{dα}I_{0}(α) etc

• Det klassiske ekvipartisjonsprinsippet:

Hver frihetsgrad som inngår kvadratisk i energifunksjonen E bidrar med k_{B}T/2 til midlere energi pr partikkel.

• Partisjonsfunksjon Z og tilstandssannsynlighet π_{j}:

Z = ∑_{j} e^{−E_{j}/k_{B}T} , π_{j} = Z^{−1}e^{−E_{j}/k_{B}T}

• Kjøleskap og varmepumpe, virkningsgrad (effektfaktor):

ε_{K} = |\frac{Q_{1}}{W} | , ε_{V} = |\frac{Q_{2}}{W} |

• Entropi og Clausius’ ulikhet:

dS = \frac{dQ_{rev}}{T} ∮ dS = 0 ∮ \frac{dQ}{T} ≤ 0

• Boltzmanns prinsipp:

S = k_{B} ln W

• Clapeyrons ligning:

\frac{dp}{dT} = \frac{ΔS}{ΔV}

• Damptrykk-kurven:

p_{d}(T) = p_{d}(T_{0}) exp [\frac{l}{R} (\frac{1}{T_{0}} − \frac{1}{T} )]

(l = molar latent varme, T_{0} = valgt referansetemperatur)

TFY4115 Fysikk Eksamen 18. desember 2013 Side 18 av 18

• Strålingshulrom, frekvensfordeling:

η(f, T) = \frac{du}{df} = \frac{8πh}{c^{3}} \frac{f^{3}}{exp(hf/k_{B}T) − 1}

• Stefan-Boltzmanns lov:

j_{s}(T) = \frac{c}{4} u(T) = σ T^{4} (σ = 2π^{5}k_{B}^{4}/15h^{3}c^{2})

• Fouriers lov:

j = −κ∇T

• Varmeledningsligningen:

\frac{∂T}{∂t} = D_{T} ∇^{2}T , D_{T} = κ/cμ

med κ = varmeledningsevne, c = C/M = varmekapasitet pr masseenhet, μ = M/V = masse pr volumenhet.

KONSTANTER, OMREGNINGSFAKTORER OG DEKADISKE PREFIKSER

• Fundamentale konstanter:

G = 6.67 · 10^{−11} Nm^{2}/kg^{2} (g = 9.81 m/s^{2})
m_{e} = 9.11 · 10^{−31} kg
m_{p} = m_{n} = 1.67 · 10^{−27} kg
k_{B} = 1.38 · 10^{−23} J/K
R = 8.314 J/molK
N_{A} = R/k_{B} = 6.02 · 10^{23} mol^{−1}
h = 6.63 · 10^{−34} Js
h̄ = h/2π = 1.05 · 10^{−34} Js
e = 1.60 · 10^{−19} C
c = 3.00 · 10^{8} m/s
σ = 5.67 · 10^{−8} W/m^{2}K^{4}

• Omregningsfaktorer:

1 eV = 1.60 · 10^{−19} J
1 Å = 10^{−10} m
1 cal = 4.184 J
1 bar = 10^{5} Pa
1 atm = 1.013 · 10^{5} Pa
1 mmHg = 133.3 Pa

• Dekadiske prefikser: p = piko = 10^{−12}, n = nano = 10^{−9}, μ = mikro = 10^{−6}, m = milli = 10^{−3}, c = centi = 10^{−2}, k = kilo = 10^{3}, M = mega = 10^{6}, G = giga = 10^{9}