TFY4115 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten 2013. Løsningsforslag til øving 10.

Oppgave 1.

Arbeidet mot det ytre trykket skjer ved konstant trykk, slik at dette blir

W = ∫_{V_{0}}^{V} p dV = p(V − V_{0}) ≃ pV,

hvor vi har neglisjert volumet av vann, V_{0}, i forhold til volumet av vanndamp, V (ved 1 atm). Videre kan dampen med god tilnærmelse betraktes som en ideell gass, dvs pV = nRT. For n mol er fordampingsvarmen nL. Andelen av fordampingsvarmen som går med til arbeid mot det ytre trykket blir derfor (med T = 100^{∘}C)

\frac{W}{nL} = \frac{nRT}{nL} = \frac{RT}{L} = \frac{8.314 · 373}{40.7 · 10^{3}} = 0.076 = 7.6%.

Oppgave 2

For enatomig gass har vi c_{pm} = 5R/2 og c_{V m} = 3R/2, slik at γ = C_{p}/C_{V} = 5/3. Langs adiabaten er det (pr definisjon) ingen varmeutveksling med omgivelsene, Q_{ab} = 0. Fra c til a er volumet konstant slik at det ikke utføres noe arbeid, W_{ca} = 0. Trykket økes, som betyr at temperaturen også øker. Altså øker gassens indre energi fra c til a, og denne energien må da komme fra tilført varme, dvs Q_{ca} > 0. Fra b til c komprimeres gassen (til halvt volum) ved konstant trykk (p_{c} = p_{b}). Det betyr at gassen har utført et negativt arbeid på omgivelsene, W_{bc} < 0. Det er videre klart at temperaturen i c er lavere enn i b, siden produktet pV er mindre i c enn i b (halvparten så stort). Følgelig er indre energi redusert fra b til c, og det er klart at Q_{bc} = ΔU_{bc} + W_{bc} < 0, dvs varme avgitt til omgivelsene.

Virkningsgraden er pr definisjon lik forholdet mellom netto utført arbeid W og tilført varme Q_{ca},

η = \frac{W}{Q_{ca}} = \frac{Q_{ca} + Q_{bc}}{Q_{ca}} ,

der vi i siste overgang benyttet oss av at indre energi er en tilstandsfunksjon, slik at netto utført arbeid tilsvarer netto tilført varme. Her tilføres og avgis varme ved hhv konstant volum og konstant trykk, så vi har direkte

Q_{ca} = C_{V} (T_{a} − T_{c}) = \frac{3}{2}nR(T_{a} − T_{c}),
Q_{bc} = C_{p}(T_{c} − T_{b}) = −\frac{5}{2}nR(T_{b} − T_{c}).

Vi har allerede slått fast at p_{b}V_{b} = 2p_{c}V_{c} slik at T_{b} = 2T_{c}. Langs adiabaten har vi

T_{a}V_{a}^{γ−1} = T_{b}V_{b}^{γ−1} ⇒ T_{a} = T_{b} (\frac{V_{b}}{V_{a}} )^{γ−1} = 2^{γ−1} T_{b},

dvs T_{a} = 2^{γ}T_{c}. Virkningsgraden blir følgelig

η = 1 + \frac{Q_{bc}}{Q_{ca}} = 1 − \frac{5}{3} \frac{T_{b} − T_{c}}{T_{a} − T_{c}} = 1 − \frac{5}{3} \frac{T_{b}/T_{c} − 1}{T_{a}/T_{c} − 1} = 1 − \frac{5}{3} \frac{2 − 1}{2^{5/3} − 1} ≃ 0.23.

En Carnot-maskin som opererer mellom et varmt reservoar med temperatur T_{a} og et kaldt reservoar med temperatur T_{c} ville ha virkningsgraden

η_{C} = 1 − T_{c}/T_{a} = 1 − 2^{−5/3} ≃ 0.69,

som altså er maksimal teoretisk virkningsgrad.

Som nevnt i oppgaveteksten kan arbeidet bestemmes ved å integrere p(V)dV. Langs adiabaten må en da benytte seg av at pV^{γ} er konstant. Fra b til c blir arbeidet ganske enkelt p_{b}(V_{a} − V_{b}). Dette gir totalt arbeid uttrykt ved p_{b}V_{b}, som med ideell gass tilstandsligning kan erstattes med nRT_{b}, og her kan nR uttrykkes ved γ og C_{V}. Men tilført varme vil, som ovenfor, i utgangspunktet være uttrykt ved T_{a} og T_{c}, så en kommer ikke utenom å uttrykke disse ved T_{b}, slik vi gjorde ovenfor.

Oppgave 3

Kraftverkets virkningsgrad er

η = \frac{W}{Q_{2}} = \frac{W}{|Q_{1}| + W} ,

der Q_{1} er avgitt varme som dumpes i elva. Oppgaven etterspør effekter, dvs energier pr tidsenhet, så la oss si at Q og W angir hhv varme og elektrisk energi (arbeid) pr tidsenhet, dvs varmeeffekt og elektrisk effekt. Vi løser ligningen ovenfor med hensyn på W og finner at kraftverket maksimalt kan levere en elektrisk effekt

W = \frac{η}{1 − η} |Q_{1}| = \frac{0.4}{0.6} · 1500 MW = 1000 MW.

Dette krever tilførsel av en varmeeffekt

Q_{2} = W + |Q_{1}| = 2500 MW.

Vannets spesifikke varmekapasitet kan skrives som

c = \frac{|Q_{1}|}{ΔT · M} ,

og hvis |Q_{1}| her representerer varme pr tidsenhet, med enheten J/s, må M tilsvare forbipassert masse vann pr tidsenhet, med enheten kg/s. Nødvendig vannføring for å begrense ΔT til 5 K blir derfor

M = \frac{|Q_{1}|}{c · ΔT} = \frac{1500 · 10^{6} J/s}{4184 J/kgK · 5 K} ≃ 71.7 · 10^{3} kg/s ≃ 72 tonn/s.

Oppgave 4

a) Den ideelle Stirling-syklusen er framstilt i et pV -diagram i figuren til høyre. I trinn 1 utvides gassen isotermt ved temperatur T_{h}. Gassen gjør et positivt arbeid W_{1} på omgivelsene og mottar varmen Q_{1} = Q_{h} fra det varme reservoaret. Med en ideell gass er indre energi kun avhengig av temperaturen, U = U(T), slik at W_{1} = Q_{1}.

I trinn 2 er gassens volum konstant slik at W_{2} = 0. Temperaturen, og dermed indre energi U, avtar, samtidig som at varme |Q_{2}| avgis til omgivelsene (dvs negativ varme Q_{2} mottas fra omgivelsene). I trinn 3 presses gassen sammen ved temperatur T_{c}. Omgivelsene gjør et arbeid |W_{3}| på gassen som tilsvarer varmen |Q_{3}| = |Q_{c}| som avgis fra gassen til det kalde reservoaret (dvs negativ varme Q_{3} mottas fra omgivelsene). I trinn 4 gjøres intet arbeid, W_{4} = 0, og varme Q_{4} mottas fra omgivelsene mens temperaturen øker fra T_{c} til T_{h}.

b) Virkningsgraden er, som alltid, definert som forholdet mellom nytte og kostnad, i dette tilfellet

η_{S} = \frac{W}{Q_{1} + Q_{4}} = \frac{W_{1} + W_{3}}{Q_{1} + Q_{4}} = \frac{Q_{1} + Q_{3}}{Q_{1} + Q_{4}} .

Her er

W_{1} = ∫_{V_{1}}^{V_{2}} p dV = nRT_{h} ln \frac{V_{2}}{V_{1}} = Q_{1},
W_{3} = ∫_{V_{2}}^{V_{1}} p dV = nRT_{c} ln \frac{V_{1}}{V_{2}} = −nRT_{c} ln \frac{V_{2}}{V_{1}} = Q_{3},
Q_{4} = C_{V} (T_{h} − T_{c}) = \frac{5}{2} nR (T_{h} − T_{c}),

slik at

η_{S} = \frac{(T_{h} − T_{c}) ln(V_{2}/V_{1})}{T_{h} ln(V_{2}/V_{1}) + (5/2)(T_{h} − T_{c})} = \frac{1 − T_{c}/T_{h}}{1 + (5/2)(1 − T_{c}/T_{h})/ ln(V_{2}/V_{1})} < 1 − \frac{T_{c}}{T_{h}} = η_{C}.

Dvs: Uten en ideell regenerator vil Stirling-maskinen ha en virkningsgrad som er mindre enn virkningsgraden til en reversibel Carnot-maskin.

c) Dersom varme avgitt til regeneratoren (Q_{2}) fås tilbake, uten kostnad, som Q_{4}, blir kostnaden kun Q_{1}. Stirling-maskinens virkningsgrad blir da

η_{S} = \frac{W}{Q_{1}} = \frac{Q_{1} + Q_{3}}{Q_{1}} = 1 + \frac{Q_{3}}{Q_{1}} = 1 − \frac{T_{c}}{T_{h}} = η_{C}.

Oppgave 5 \underline{a}. B. Konstant temperatur ved smelting (1.5 tidsintervaller) og ved fordampning (2.5 tidsintervaller) gir L_{s}/L_{f} = 1.5/2.5 = 0.6. \underline{b}. B. W = omsluttet areal. \underline{c}. D. Q og W er prosessvariable, U er tilstandsvariabel. \underline{d}. C. En isoterm fra tilstand a er brattere enn isobaren ab men slakere enn adiabaten ac. Dermed: T_{b} > T_{a} > T_{c}.