FY1005/TFY4165 Termisk fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Våren 2013.

Løsningsforslag til øving 3

Oppgave 1

I løpet av et tidsrom dt mottar motstanden energimengden P dt. All den elektriske energien dissiperes inne i motstanden, som dermed varmes opp (”Joule heating”), dvs d̄Q = P dt. Samtidig er d̄Q = C_{p} dT, slik at

C_{p} = P \frac{dt}{dT} = \frac{P}{dT/dt}.

Derivasjon av den oppgitte T (t) gir

\frac{dT}{dt} = \frac{T_{0}a}{4[1 + a(t − t_{0})]^{3/4}} = \frac{T_{0}^{4}a/4}{T_{0}^{3}[1 + a(t − t_{0})]^{3/4}} = \frac{T_{0}a}{4} \frac{T_{0}^{3}}{T^{3}} ,

slik at varmekapasiteten, som funksjon av temperaturen, blir

C_{p} = \frac{4P}{aT_{0}} (\frac{T}{T_{0}} )^{3} ,

dvs proporsjonal med T^{3}. (Som er typisk temperaturavhengighet til varmekapasiteten for faste stoffer, ved forholdsvis lave temperaturer. Dette får du høre mer om i dette kurset, og spesielt i kurset Faste stoffers fysikk, som jeg regner med du tar i neste vårsemester.)

Oppgave 2

Fra definisjonen av energienheten cal (kalori) har vi direkte at c_{p} = 1 cal/gK for vann. Luft består nesten utelukkende av 2-atomige molekyler, og gjennomsnittlig molar masse er ca 29 g/mol. Dermed er (med R = 8.314 i enheten J/mol K) c_{p} = (7R/2)/(29 · 4.184) cal/gK = 0.24 cal/gK for luft. Molar varmekapasitet for metaller er ca 3R, så med molar masse 55.9 g/mol har vi c_{p} ≃ 3R/(55.9 · 4.184) cal/gK = 0.11 cal/gK for jern. Med andre ord, c_{p}(vann) ≃ 4c_{p}(luft) ≃ 9c_{p}(jern).

Oppgave 3

Siden lufta antas å utivde seg adiabatisk og reversibelt, kan adiabatligningene for ideell gass benyttes,

T V^{γ−1} = konst og pV^{γ} = konst.

Eliminasjon av V gir da

pT^{−γ/(γ−1)} = konst,

eventuelt

T p^{−κ} = T_{0}p_{0}^{−κ}, dvs T = T_{0} (\frac{p}{p_{0}} )^{κ} ,

med κ = (γ − 1)/γ. Her er trykkdifferansen Δp = p − p_{0} liten (i forhold til p_{0}), slik at temperaturendringen ΔT = T − T_{0} blir

ΔT = T − T_{0} = T_{0} [(\frac{p}{p_{0}} )^{κ} − 1]
= T_{0} [(\frac{p_{0} + Δp}{p_{0}})^{κ} − 1]
= T_{0} [(1 + \frac{Δp}{p_{0}})^{κ} − 1]
≃ T_{0} · κ · \frac{Δp}{p_{0}},

der vi har rekkeutviklet til laveste orden i den lille størrelsen Δp/p_{0}. (Dette er selvsagt ikke påkrevd; en kan godt bare sette inn tallverdier og trykke i vei på kalkulatoren.) Med γ = 7/5 for luft blir κ = 2/7, slik at

ΔT ≃ 293 · \frac{2}{7} · (\frac{−8.9}{760}) K ≃ −1^{∘}C.

Her har vi brukt at 1 atm = 760 mm Hg.

Oppgave 4

For ideell gass har vi adiabatligningene pV^{γ} = konst og T V^{γ−1} = konst. Slutt-trykket blir derfor lik

p = p_{0} (\frac{V_{0}}{V} )^{γ} = 1 atm · 18^{1.4} = 57.2 atm,

mens slutt-temperaturen blir (med T_{0} = 17^{∘}C = 290 K)

T = T_{0} (\frac{V_{0}}{V} )^{γ−1} = 190 K · 18^{0.4} = 922 K = 649^{∘}C.

Her er ingen varme utvekslet med omgivelsene, slik at arbeidet tilsvarer endringen i indre energi: Q = ΔU + W = 0. Vi kan nå gå fram på to måter for å bestemme arbeidet utført på gassen: Enten direkte ved å integrere p(V) dV, eller ved å regne ut endringen i indre energi, ΔU. La oss gjøre det på begge vis! Direkte utregning:

W = ∫_{V}^{V_{0}} p(V) dV = p_{0} ∫_{V}^{V_{0}} (\frac{V_{0}}{V} )^{γ} dV = \frac{p_{0}V_{0}}{γ − 1} [(\frac{V_{0}}{V} )^{γ−1} − 1] = \frac{p_{0}V_{0}}{γ − 1} (\frac{T}{T_{0}} − 1) = 0.44 kJ.

Endring i indre energi: Vi vet at U er en tilstandsfunksjon, og vi kjenner her både start- og slutt-tilstand (både trykk, volum og temperatur). Da kan vi bestemme ΔU på den måten som passer oss best, dvs det spiller ingen rolle hva slags prosess (her: adiabatisk) som faktisk tok systemet fra start- til slutt-tilstand. Vi vet videre at endringen i indre energi inngår i uttrykket for varmekapasiteten ved konstant volum, C_{V} = (∂U/∂T)_{V}. Dermed, hvis vi kjenner C_{V} (T), kan vi bestemme ΔU ved å integrere dU = C_{V} dT. Her er det klart at C_{V} er en konstant: Med C_{p} − C_{V} = nR og C_{p}/C_{V} = γ har vi C_{V} = nR/(γ − 1) = 5nR/2. Dermed er

|W | = ΔU = C_{V} (T −T_{0}) = \frac{5}{2}nR(T −T_{0}) = \frac{5}{2}p_{0}V_{0} (\frac{T}{T_{0}} − 1) = 2.5·1.013·10^{5}·0.80·10^{−3}·(\frac{922}{290} − 1) = 0.44 kJ.

Samme svar med begge metoder!

Oppgave 5

Arbeidet mot det ytre trykket skjer ved konstant trykk, slik at dette blir

W = ∫_{V_{0}}^{V} p dV = p(V − V_{0}) ≃ pV,

hvor vi har neglisjert volumet av vann, V_{0}, i forhold til volumet av vanndamp, V (ved 1 atm). Videre kan dampen med god tilnærmelse betraktes som en ideell gass, dvs pV = nRT. For n mol er fordampingsvarmen nL. Andelen av fordampingsvarmen som går med til arbeid mot det ytre trykket blir derfor (med T = 100^{∘}C)

\frac{W}{nL} = \frac{nRT}{nL} = \frac{RT}{L} = \frac{8.314 · 373}{40.7 · 10^{3}} = 0.076 = 7.6%.