TFY4115 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten 2013. Løsningsforslag til øving 12.

1) Bruker at for ideell gass er C_{p} − C_{V} = Nk_{B}, og setter inn V = Nk_{B}T/p og V_{0} = Nk_{B}T_{0}/p_{0}, dvs V/V_{0} = (T/p)/(T_{0}/p_{0}):

S = (C_{p} − Nk_{B}) ln(T/T_{0}) + Nk_{B} ln((T/p)/(T_{0}/p_{0})) + S_{0}
= C_{p} ln(T/T_{0}) − Nk_{B} ln(T/T_{0}) + Nk_{B} ln(T/T_{0}) − Nk_{B} ln(p/p_{0}) + S_{0}
= C_{p} ln(T/T_{0}) − Nk_{B} ln(p/p_{0}) + S_{0}

Dermed er B rett svar.

2) Her kan vi neglisjere endringer i volumet og dermed bruke dS = CdT/T:

ΔS_{vann} = C ∫_{T_{0}}^{T_{1}} \frac{dT}{T} = C ln(T_{1}/T_{0}).

Riktig svar blir da D.

3) Varmereservoaret har (uendelig) stor varmekapasitet, slik at temperaturen ikke endres selv om varme fjernes eller tilføres. Varmen som ble tilført vannet i oppgave 2 er Q = C(T_{1} − T_{0}), positiv hvis T_{1} er større enn T_{0} og vice versa. Dette må da, pga energibevarelse, være varmen som varmereservoaret avgir, ved den konstante temperaturen T_{1}. Dermed:

ΔS_{res} = −Q/T_{1} = C(T_{0} − T_{1})/T_{1}.

Riktig svar: A.

4) Prosessen som beskrives i oppgave 2 er en naturlig, spontan prosess, som dermed er irreversibel. Da vet vi at den totale entropiendringen er positiv – 2. hovedsetning. Rett svar er altså A. Det er kanskje ikke umiddelbart innlysende at

ΔS_{tot} = C ln(T_{1}/T_{0}) + C(T_{0} − T_{1})/T_{1}

alltid er en positiv størrelse (evt null dersom T_{0} = T_{1}, dvs likevekt mellom vann og reservoar i utgangspunktet), men hvis vi innfører x = (T_{0} − T_{1})/T_{1} = T_{0}/T_{1} − 1, har vi

ΔS_{tot} = C[x − ln(1 + x)],

og x er alltid større enn (eller lik) ln(1 + x):

5) I et system med temperatur T og mulige (tillatte) energinivåer E_{j} (j = 1, 2, 3, …) er sannsynligheten for at en gitt partikkel har energi E_{j} lik

π_{j} = \frac{1}{Z} e^{−E_{j}/k_{B}T} ,

med partisjonsfunksjonen (tilstandssummen)

Z = ∑_{j} e^{−E_{j}/k_{B}T} ,

slik at total sannsynlighet blir normert. Med de to tillatte energiverdiene ±E_{0} blir

Z = e^{E_{0}/k_{B}T} + e^{−E_{0}/k_{B}T} = 2 cosh(E_{0}/k_{B}T),

slik at sannsynligheten for at en gitt partikkel har energi E_{0} blir

π_{+} = exp(−E_{0}/k_{B}T)/[2 cosh(E_{0}/k_{B}T)],

dvs rett svar blir A. (Og sannsynligheten for energi −E_{0} blir

π_{−} = exp(E_{0}/k_{B}T)/[2 cosh(E_{0}/k_{B}T)].)

6) Midlere energi pr partikkel er

⟨E⟩ = ∑_{j} E_{j} π_{j} = \frac{−E_{0} exp(E_{0}/k_{B}T) + E_{0} exp(−E_{0}/k_{B}T)}{2 cosh(E_{0}/k_{B}T)} = −E_{0} \frac{2 sinh(E_{0}/k_{B}T)}{2 cosh(E_{0}/k_{B}T)} = −E_{0} tanh(E_{0}/k_{B}T).

Med N partikler blir dermed systemets indre energi

U = N · ⟨E⟩ = −NE_{0} tanh(E_{0}/k_{B}T),

og rett svar er D.

7) For lave temperaturer, dvs k_{B}T ≪ 2E_{0}, er det for lite tilgjengelig termisk energi til å eksitere partikler fra tilstanden med energi −E_{0} (grunntilstanden) til tilstanden med energi E_{0}. Da hjelper det ikke å øke temperaturen litt, fra T til T + ΔT, dvs indre energi forandrer seg likevel ikke. Dette betyr at varmekapasiteten C = ΔU/ΔT er null for lave temperaturer. Dermed kan vi utelukke alternativene B og D. For riktig høye temperaturer, dvs k_{B}T ≫ 2E_{0}, må også varmekapasiteten være tilnærmet lik null. Da er sannsynlighetene π_{−} og π_{+} for at en gitt partikkel har energi hhv −E_{0} og E_{0} like store (dvs begge lik 1/2), og midlere energi pr partikkel er lik null. En økning i temperaturen, fra T til T + ΔT, vil ikke endre på dette - det er fortsatt like stor sannsynlighet for begge energier, og indre energi forandres ikke. Med C → 0 både for T → 0 og for T → ∞ må C ha et maksimum for en eller annen verdi av temperaturen, og kurve C må være den riktige. Maksimal C har vi når termisk energi k_{B}T er omtrent lik E_{0}. Da får vi ”best betalt” for å øke temperaturen littegrann. Det er ingen heksekunst å regne ut varmekapasiteten,

C = \frac{dU}{dT} = Nk_{B} \frac{(E_{0}/k_{B}T)^{2}}{cosh^{2}(E_{0}/k_{B}T)},

med d(tanh x)/dx = 1/ cosh^{2} x samt kjerneregel d(E_{0}/k_{B}T)/dT = −E_{0}/k_{B}T^{2}. Plotter vi funksjonen x^{2}/ cosh^{2} x, ser vi at maksimum er ved x ≃ 1.2:

Kommentarer: Hva skal en slik leketøysmodell være godt for, kan en kanskje spørre seg. Modellen har faktisk betydelig relevans: Den representerer første steg på vei mot en beskrivelse og forståelse av magnetiske egenskaper til ulike materialer. I mange (men ikke alle) materialer har atomene et såkalt spinn eller magnetisk dipolmoment, som i et ytre magnetfelt nettopp vil gi et av to mulige bidrag til systemets indre energi. Modellen i oppgave 5 - 7, med uavhengige partikler, er direkte relevant for paramagnetiske materialer, som f.eks. aluminium og magnesium. Utvider vi modellen og inkluderer vekselvirkning mellom partiklene, blir den i stand til å beskrive ferromagnetiske materialer, som f.eks. jern, kobolt og nikkel.

8) Partiklenes midlere kinetiske energi, ⟨K⟩ = m⟨v^{2}⟩/2, er proporsjonal med systemets temperatur T. En halvering av T betyr derfor en halvering av ⟨v^{2}⟩, dvs v_{rms} reduseres med faktoren 1/\sqrt{2} ≃ 0.7, en reduksjon på ca 30 prosent. C.

9) Produktet pV er uendret hvis trykket dobles og volumet halveres. Da er også temperaturen uendret, som igjen betyr at v_{rms} er uendret. B.

10) Det isoterme arbeidet W_{0} tilsvarer det ”dobbeltskraverte” arealet i figuren nedenfor, mens arbeidet W_{1} utført ved konstant trykk p_{1} tilsvarer hele det skraverte arealet. Vi ser at W_{1} > W_{0}, og A er riktig svar.

11) Tilførsel av varme ved konstant trykk betyr at gassen utfører et positivt arbeid på omgivelsene (f.eks. hele det skraverte arealet i forrige oppgave). Da blir gassens økning i indre energi mindre enn tilført varme. B.

12) Siden temperaturen er proporsjonal med molekylenes midlere kinetiske energi, må ⟨K⟩ være den samme for både oksygen- og nitrogenmolekylene. Oksygen har større molekylmasse (ca 32 u) enn nitrogen (ca 28 u), så nitrogenmolekylene har i gjennomsnitt noe større hastighet enn oksygenmolekylene. (Her er u lik en atomær masseenhet, ca 1.66 · 10^{−27} kg.) D.

13) Virkningsgraden til Carnot-varmepumpa er

ε_{V}^{c} = |Q_{2}|/|W | = |Q_{2}|/(|Q_{2}| − |Q_{1}|) = T_{2}/(T_{2} − T_{1}) = 303/40,

så den forbruker

|W | = |Q_{2}|/ε_{V}^{c} = 2.0 · 40/303 ≃ 0.26,

dvs 0.26 kW elektrisk energi (effekt). A.

14) En Carnot-prosess består av to isotermer og to isentropiske prosesser, dvs med hhv T konstant og S konstant. Dermed et rektangel i et (S, T)-diagram. A.

15) Dreieimpulsen er kvantisert, L^{2} = l(l + 1)h̄^{2}, med l = 0, 1, 2, … og h̄ = h/2π Plancks (”reduserte”) konstant. Overgangstemperaturen T_{rot} blir dermed omvendt proporsjonal med molekylets treghetsmoment I, som stiger i rekkefølgen H_{2} – HCl – Cl_{2}. Dvs, T_{rot} avtar i denne rekkefølgen. B. Omtrentlige verdier for T_{rot} er hhv 88, 15 og 0.4 K for disse tre molekylene.