FY1005/TFY4165 Termisk fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Våren 2013.

Løsningsforslag til øving 12

Oppgave 1

Ved stasjonære forhold er varmestrømmen j mellom skjoldene den samme overalt. Med Stefan-Boltzmanns lov er netto varmestrøm pr flateenhet i

1. intervall : j = σ(T_{h}^{4} − T_{1}^{4})
2. intervall : j = σ(T_{1}^{4} − T_{2}^{4})
⋯
N. intervall : j = σ(T_{N−1}^{4} − T_{N}^{4})
siste intervall : j = σ(T_{N}^{4} − T_{l}^{4})

De mellomliggende ukjente temperaturer kan nå elimineres ved å legge sammen disse N + 1 ligningene:

(N + 1)j = σ(T_{h}^{4} − T_{l}^{4}) = j_{0} ⇒ \frac{j}{j_{0}} = \frac{1}{N + 1},

der j_{0} er varmestrømmen uten skjold. Kommentar: Temperaturen på skjoldene kan nå bestemmes ved å addere de k første intervallene. Dette gir kj = σ(T_{h}^{4} − T_{k}^{4}), eller T_{k}^{4} = T_{h}^{4} − kj/σ, som innsatt for j gir

T_{k} = [\frac{(N + 1 − k)T_{h}^{4} + kT_{l}^{4}}{N + 1} ]^{1/4} .

Med N = 20 skjold og T_{h} = 373 K og T_{l} = 273 K:

Oppgave 2

For å bestemme molbrøken x_{1} som funksjon av tida beregner vi først partikkeltallene. Partikkelstrømtettheten er i forelesningene funnet å være j = n⟨v⟩/4, der n = N/V er partikkeltettheten, og

⟨v⟩ = \sqrt{\frac{8kT}{πm}} .

De to komponentene kan betraktes hver for seg. Endring av partikkeltallet N_{1} av komponent 1 inne i volumet V i løpet av tida dt er

dN_{1} = −jAdt = −\frac{1}{4} \frac{N_{1}}{V} ⟨v_{1}⟩Adt = −α_{1}N_{1}dt,

der

α_{1} = \frac{1}{4} \frac{A}{V} ⟨v_{1}⟩ = \frac{A}{V} \sqrt{\frac{kT}{2π}} \frac{1}{\sqrt{m_{1}}} .

Løsningen blir

\frac{dN_{1}}{N_{1}} = −α_{1}dt
ln N_{1} = −α_{1}t + konst
N_{1} = N_{1}(t) = N_{01}e^{−α_{1}t},

med N_{1}(0) = N_{01}. Tilsvarende finer vi for komponent 2:

N_{2} = N_{2}(t) = N_{02}e^{−α_{2}t}.

Molbrøken av komponent 1 inne i beholderen blir følgelig

x_{1}(t) = \frac{N_{1}}{N_{1} + N_{2}} = \frac{N_{01}e^{−α_{1}t}}{N_{01}e^{−α_{1}t} + N_{02}e^{−α_{2}t}}
= \frac{N_{01}/(N_{01} + N_{02})}{N_{01}/(N_{01} + N_{02}) + N_{02}e^{−ct}/(N_{01} + N_{02})} = \frac{x_{1}^{0}}{x_{1}^{0} + (1 − x_{1}^{0})e^{−ct}} .

Her er

c = α_{2} − α_{1} = \frac{A}{V} \sqrt{\frac{kT}{2π}} (\frac{1}{\sqrt{m_{2}}} − \frac{1}{\sqrt{m_{1}}} ) .

Vi ser at den tunge komponenten anrikes inne i beholderen siden det som strømmer ut har relativt mer av den lette komponenten. Forholdet mellom antall partikler som strømmer ut, av den ene og den andre typen, blir (da x_{2} = 1 − x_{1})

(\frac{tunge}{lette})_{ut} = (\frac{j_{1}}{j_{2}} )_{ut} = \frac{⟨v_{1}⟩N_{1}}{⟨v_{2}⟩N_{2}} = \frac{α_{1}N_{1}}{α_{2}N_{2}} = \sqrt{\frac{m_{2}}{m_{1}}} \frac{N_{1}}{N_{2}} .

Denne brøken er minimal ved t = 0. Etter hvert som tida går, blir det en økende andel av de tunge isotopene inne i beholderen, slik at j_{1}/j_{2} gradvis øker. (N_{1}/N_{2} ∼ exp(ct))

Så lenge bare en liten del av overflaten er dekket med oksygenatomer, kan en for enkelhets skyld anta at alle oksygenatomer treffer en ren metallflate. Antall atomer som treffer arealet A i løpet av et tidsrom τ er da

N = jAτ = \frac{1}{4}n⟨v⟩Aτ.

Med en diameter d = 2.3 Å vil N partikler dekke arealet πd^{2}N/4. For å dekke 1/10 av arealet A blir tiden τ følgelig bestemt av

\frac{1}{10}A = \frac{1}{4}πd^{2} · \frac{1}{4}n⟨v⟩Aτ
τ = \frac{8}{5πd^{2}n⟨v⟩}.

Videre har en så

p = \frac{N}{V} kT = nkT
n = \frac{p}{kT}
og v = \sqrt{\frac{8kT}{πm}} .

Følgelig finner vi ved å sette inn:

τ = \frac{2}{5d^{2}p}\sqrt{2mkT/π} = 6.7 s ≃ 7 s

når m = 32·1.66·10^{−27} kg, d = 2.3·10^{−10} m, p = 10^{−7} ·1.013·10^{5}/760 Pa, T = 300 K og k = 1.38·10^{−23} J/K settes inn. Vi ser at tida som trengs for å dekke et visst areal vil være omvendt proporsjonal med trykket. Eksperiment i løpet av tida τ_{1} = 3600 s innenfor gitt toleransegrense begrenser da trykket oppad til

p_{1} = pτ/τ_{1} = 10^{−7} · 6.7/3600 torr ≃ 2 · 10^{−10} torr.

Dette klassifiseres som ultra-høy-vakuum.

Oppgave 4

For diffusjon av partikler fant vi at diffusjonslengden r går som kvadratroten av tida t, dvs r ∼ \sqrt{t}. Det samme må da gjelde for varmetransport som beskrives ved samme differensialligning. Når lengdedimensjoner endres med en faktor a, vil følgelig tidsforløp endres med en faktor a^{2} for systemer med samme form. [Dvs: Differensialligningen forblir uendret dersom nye variable t′ = t/a^{2} og r′ = r/a innføres og samme grensebetingelser brukes.] Når tyngden, og dermed volumet til potetene endres med en faktor v = 2, vil lengder endres med en faktor a = v^{1/3} = 2^{1/3}. Tida endres derfor med faktoren τ = a^{2} = 2^{2/3} = 1.59. Så med dobbelt så tunge poteter endres koketida til 25 minutter ·τ ≃ 40 minutter.