FY1005/TFY4165 Termisk fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Våren 2013.

Løsningsforslag til øving 2

Oppgave 1

Endring av trykket, Δp, ved en liten endring i temperaturen, ΔT, er ved konstant volum gitt ved

Δp = (\frac{∂p}{∂T} )_{V} ΔT.

For å bestemme den deriverte benyttes relasjonen

−1 = (\frac{∂p}{∂T} )_{V} (\frac{∂V}{∂p} )_{T} (\frac{∂T}{∂V} )_{p} = (\frac{∂p}{∂T} )_{V} (−V κ_{T}) (\frac{1}{V α}) ,

der κ_{T} = −(∂V/∂p)_{T} /V og α = (∂V/∂T)_{p}/V = (∂T/∂V)_{p}^{−1}/V. For hver grad temperaturstigning blir dermed

Δp = \frac{α}{κ_{T}} ΔT = \frac{48.5 · 10^{−6}}{7.7 · 10^{−12}} · 1 Pa = 6.3 MPa ≃ 62 atm.

Oppgave 2

Den indre energien U til et system er bestemt av tilstanden. Dette er ikke tilfelle med tilført varme Q og utført arbeid W, men energibevarelse (1. hovedsetning) er oppfylt. Mottatt varme langs veien acb er

Q_{acb} = U_{b} − U_{a} + W_{acb},

slik at endringen i indre energi blir

ΔU_{ab} = U_{b} − U_{a} = Q_{acb} − W_{acb} = (80 − 30) J = 50 J.

a) Varmemengden som systemet opptar langs veien adb blir derfor

Q_{adb} = ΔU_{ab} + W_{adb} = 50 + 10 = 60 J.

b) Mottatt arbeid 20 J betyr utført arbeid W_{ba} = −20 J. Mottatt varme under prosessen b → a er følgelig

Q_{ba} = ΔU_{ba} + W_{ba} = −ΔU_{ab} + W_{ba} = −50 − 20 = −70 J.

Dette betyr at systemet avgir varmemengden 70 J under prosessen fra b til a. c) Ved prosessen db utføres det ikke noe arbeid da volumet er konstant, dvs W_{db} = 0, og W_{ad} = W_{adb} = 10 J. Mottatt varmemengde under prosessen ad blir følgelig

Q_{ad} = U_{d} − U_{a} + W_{ad} = 40 − 0 + 10 = 50 J.

Ved prosessen db blir så den mottatte varmemengden

Q_{db} = Q_{adb} − Q_{ad} = 60 − 50 = 10 J.

Oppgave 3

Tilstandsligning for n mol ideell gass:

pV = nRT.

Utført arbeid:

W = ∫_{V_{1}}^{V_{2}} p dV = nRT ∫_{V_{1}}^{V_{2}} \frac{dV}{V}
= nRT ln \frac{V_{2}}{V_{1}} = 2 · 8.314 · 300 · ln 2 = 3458 J ≃ 3.46 kJ.

For ideell gass er indre energi U en funksjon av temperaturen alene. Siden T er uendret langs en isoterm, vil U være uendret, dvs ΔU = 0. Tilført varme er følgelig

Q = ΔU + W = W = 3.46 kJ.

Oppgave 4

Tilstandsligning: pV = nRT. En dobling av temperaturen, T_{1} → T_{2} = 2T_{1}, ved konstant volum, V_{2} = V_{1}, gir trykket

p_{2} = \frac{nRT_{2}}{V_{2}} = \frac{2nRT_{1}}{V_{1}} = 2p_{1}.

Avkjøling tilbake til T_{1}, uten å endre trykket, gir volumet

V_{2} = \frac{nRT_{1}}{p_{2}} = \frac{nRT_{1}}{2p_{1}} = \frac{1}{2}V_{1}.

Utført arbeid (dvs på omgivelsene):

W = ∫_{V_{1}}^{V_{2}} p dV = ∫_{V_{1}}^{V_{2}} p_{2} dV = (V_{2} − V_{1})p_{2} = −p_{1}V_{1}.

Arbeid gjort på gassen:

−W = p_{1}V_{1}.