\documentclass[11pt]{article}
\usepackage{epsfig}
\usepackage[norsk]{babel}
\topmargin=-2.5cm
\oddsidemargin=-1.0cm
\evensidemargin=-1.0cm
\textheight=25cm
\textwidth=18cm
\setlength{\parindent}{0cm}

\begin{document}
\newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}

\begin{center}
\begin{bf}
TFY4104/TFY4125 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU.
\end{bf}
\end{center}

Lag din egen kode i Python for {\aa} l{\o}se numerikkoppgavene.

\vspace{8mm}
{\bf \underline{Numerisk 1: Snorfriksjon. M{\aa}leusikkerhet.}} \\

\begin{minipage}{0.40\textwidth}
%%FIGURE
\vspace{0.2cm}
\centerline{\epsfxsize=2.3in \epsfbox{tau_sylinder.eps}}
\vspace{0.8cm}
%%END FIGURE

\begin{center}
\begin{tabular}{rr}
\hline
$\phi$ & \hspace{15mm} $S_{\rm max}/g$ (g)  \\
\hline
$0$      &  185    \\
$\pi/2$  &  240    \\
$\pi$    &  300    \\
$3\pi/2$ &  440    \\
$2\pi$   &  600    \\
$5\pi/2$ &  800    \\
$3\pi$   & 1000    \\
$7\pi/2$ & 1100    \\
$4\pi$   & 1400    \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

%%\vspace{0.2cm}
{\bf Tabell}: {\sf Maksimal snorkraft $S_{\rm max}$ med lodd i likevekt, med
snor surret en vinkel $\phi$ rundt plastr{\o}ret.}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.50\textwidth}
{\em Innledning}:
Surring av ei snor rundt en sylinder resulterer i en friksjonskraft
som kan hjelpe oss {\aa} holde tunge gjenstander oppe. I figuren til venstre er $S(\phi)$
enten minste p{\aa}krevde snordrag for {\aa} holde massen $m$ i ro n{\aa}r snora har
kontakt med sylinderen over en vinkel $\phi$,
$$S_{\rm min}(\phi) = S(0) \exp(-\mu\phi),$$
eller, som her, det maksimale snordraget som kan brukes uten at massen trekkes oppover,
$$S_{\rm max}(\phi) = S(0) \exp(\mu\phi).$$
M{\aa}linger av $S_{\rm max}(\phi)$ med et lodd med masse $m = 185$ g
gav resultatene i tabellen til venstre. Du skal bruke disse m{\aa}leresultatene
til {\aa} bestemme den statiske friksjonskoeffisienten $\mu$ mellom snora og plastr{\o}ret.
Vi antar at feilen i $m$, dvs $S_{\rm max}(0)$, er neglisjerbar,
og at feil i $S_{\rm max}$ og $\phi$, og dermed $\mu$, er tilfeldige.
Nedenfor f{\o}lger selve oppgaven.
\end{minipage}

\vspace{8mm}
{\em Oppgaven}:
Basert p{\aa} de $n=8$ m{\aa}lepunktene i tabellen ($\phi=0$ ikke med), 
bestem middelverdien av friksjonskoeffisienten,
$$\overline{\mu} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \mu_i,$$
et estimat for usikkerheten i en enkeltm{\aa}ling av $\mu$ (det s{\aa}kalte standardavviket),
$$\Delta \mu = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n \left( \mu_i - \overline{\mu} \right)^2},$$
og et estimat for usikkerheten i middelverdien (den s{\aa}kalte standardfeilen),
$$\Delta \overline{\mu} = \frac{\Delta \mu}{\sqrt{n}}.$$
Angi deretter $\mu$ med middelverdi og usikkerhet (standardfeil), dvs p{\aa} formen
$$\mu = \overline{\mu} \pm \Delta \overline{\mu}.$$
Til slutt plotter du de eksperimentelle m{\aa}lepunktene for st{\o}rrelsen 
$\ln [S_{\rm max}(\phi)/S_{\rm max}(0)]$ sammen med de
tre rette linjene $\mu\phi$, for $\mu=\overline{\mu}$ samt $\mu=\overline{\mu} \pm \Delta\mu$.
Er andelen m{\aa}lepunkter som ligger innenfor $[\overline{\mu} - \Delta\mu , \overline{\mu} + \Delta\mu]$
omtrent som forventet (dvs ca 68\%)?

\newpage
{\bf \underline{Numerisk 2: Klessnor.}} \\

P{\aa} ei tiln{\ae}rmet massel{\o}s klessnor med lengde $L$ henger fire like tunge plagg 
i hver sin kleshenger, med lik avstand $L/5$ mellom to
nabokleshengere, og mellom festepunkt og n{\ae}rmeste kleshenger. Klessnoras
ender er festet i samme h{\o}yde, med innbyrdes avstand $D$:

%%FIGURE
\vspace{0.2cm}
\centerline{\epsfxsize=4.0in \epsfbox{klessnor.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

Oppgaven g{\aa}r ut p{\aa} {\aa} bestemme klessnoras form, dvs vinklene $\alpha$ og $\beta$ i figuren.
Vis at vinkelen $\alpha$ kan bestemmes ved {\aa} l{\o}se ligningen
$$\frac{L}{5} \left(1 + \frac{4x}{\sqrt{1+3x^2}} + 2x \right) = D,$$
der $x = \cos\alpha$. Tips: Problemet inneholder 5 ukjente st{\o}rrelser: Vinklene $\alpha$ og $\beta$,
samt 3 ulike snorkrefter $S_1$ (ytterst), $S_2$ (nest ytterst) og $S_3$ (p{\aa} midten). 
Newtons 1.\ lov for to av massene (en ytterst og en nest ytterst), horisontalt og
vertikalt, gir 4 ligninger. Den femte ligningen har kun {\aa} gj{\o}re med geometrien, dvs en
sammenheng mellom $D$, $L$, $\alpha$ og $\beta$, og denne finner du direkte ut fra figuren.

Vi vil bestemme $x$, og dermed $\alpha$, med en numerisk metode. Den
enkleste oppskriften er sannsynligvis denne:
\begin{itemize}
\item
Skriv ligningen p{\aa} formen $x = f(x)$.
\item
Velg en passende startverdi $x=x_0$ og regn ut $f(x_0)$.
\item
Sett $x_1 = f(x_0)$ og regn ut $f(x_1)$.
\item
Sett $x_2 = f(x_1)$ og regn ut $f(x_2)$, osv.
\item
Gjenta (Iterer) dette skjemaet inntil $x_j \simeq x_{j-1}$ med
tilstrekkelig god tiln{\ae}rmelse. 
\end{itemize}


\end{document}
