FY1001/TFY4145 Mekanisk fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten 2014.

Løsningsforslag til øving 10

Oppgave 1

a) Så lenge v_{O} = v_{S} = 0, spiller det ingen rolle om det blåser. Observatøren vil måle samme frekvens som kilden (S) sender ut. Riktig svar: B.

b) Veggen står i ro og ”observerer” bølgen som sendes ut av flaggermusen. Frekvensen f_{V} mottatt av veggen er

f_{V} = \frac{v}{v − v_{F}} f_{F} = \frac{340}{340 − 10} · 100 kHz = 103.03 kHz.

Veggen reflekterer, dvs sender tilbake mot flaggermusen, en bølge med denne frekvensen. Nå er veggen en bølgekilde i ro, mens flaggermusen er en observatør i bevegelse, mot kilden (veggen). Dermed hører flaggermusen et ekko med frekvens

f_{E} = \frac{v + v_{F}}{v} f_{V} = \frac{350}{340} · 103.03 kHz ≃ 106 kHz.

Riktig svar: B.

c) Her er sveveperioden T_{s} = 1 s. Dermed er svevefrekvensen f_{s} = 1/T_{s} = 1 Hz. Dette tilsvarer frekvensforskjellen mellom de to lydbølgene fra hhv stemmegaffelen (440 Hz) og pianoets A-streng. Du kan imidlertid ikke vite om A-strengen svinger med frekvens 439 Hz eller 441 Hz. Riktig svar: D.

d) To lydkilder som svinger i fase med samme frekvens gir konstruktiv interferens (max intensitet) dersom bølgene har en veilengdeforskjell lik et helt antall bølgelengder λ. Med avstand d mellom lydkildene og vinkel θ mellom senterlinjen (med lengde 20 m; se figuren i oppgaven) og en linje fra (midtpunktet mellom) høyttalerne til observatøren, blir veilengdeforskjellen, med god tilnærmelse, lik d sin θ. Max intensitet høres derfor av dem som sitter slik til at θ = 0 eller

θ = arcsin(nλ/d),

med n = 0, 1, 2, . . .. Destruktiv interferens (min intensitet) oppnås med veilengdeforskjell (n + 1/2)λ, og dermed av dem som sitter slik til at

θ = arcsin((n + 1/2)λ/d).

Med d = 1 m og λ = v/f = 340/3400 = 0.1 m har vi max intensitet i retningene θ_{max} = 0, ±5.7^{∘}, ±11.5^{∘}, ±17.5^{∘} osv. Minimal intensitet har vi i retningene θ_{min} = ±2.9^{∘}, ±8.6^{∘}, ±14.5^{∘} osv. Bjarne sitter ved θ_{B} = 0 og hører dermed max intensitet. Anne sitter ved θ_{A} = arctan(5.2/20) = 14.6^{∘}, som er tilstrekkelig nær 14.5^{∘} til å fastslå at hun hører minimal intensitet. Camilla sitter ved θ_{C} = arctan(−3.0/20) = −8.5^{∘}, så hun hører også minimal intensitet. Endelig har vi Dag som sitter ved θ_{D} = arctan(−6.3/20) = −17.5^{∘}, så Dag hører max intensitet. Riktig svar: B.

Oppgave 2

a) I forelesningene har vi utledet sammenhengene mellom amplituden A til innkommende bølge og amplitudene B og C til henholdsvis reflektert og transmittert bølge:

B = \frac{\sqrt{μ_{2}} − \sqrt{μ_{1}}}{\sqrt{μ_{2}} + \sqrt{μ_{1}}} A
C = \frac{2\sqrt{μ_{1}}}{\sqrt{μ_{2}} + \sqrt{μ_{1}}} A

Her er μ_{2} = 90 g/m masse pr lengdeenhet på den tunge delen av strengen, μ_{1} = 10 g/m er masse pr lengdeenhet på den lette delen av strengen og A = 5 mm. Innsetting av disse tallverdiene gir B = 2A/4 = 2.5 mm og C = 2A/4 = 2.5 mm.

b) Fra forelesningene har vi følgende uttrykk for midlere effekt transportert med den innkommende bølgen (også oppgitt i oppgaveteksten):

\overline{P}_{i} = \frac{1}{2}vμ_{1}ω^{2}A^{2}
= \frac{1}{2}\sqrt{S/μ_{1}}μ_{1}ω^{2}A^{2}
= \frac{1}{2}\sqrt{Sμ_{1}}ω^{2}A^{2}
= \frac{1}{2}\sqrt{4 · 10 · 10^{−3}} · (10π)^{2} · (5 · 10^{−3})^{2}
= 2.5 mJ/s

Andel av effekten som reflekteres er gitt ved refleksjonskoeffisienten R = \overline{P}_{r}/\overline{P}_{i}:

R = (\frac{\sqrt{μ_{2}} − \sqrt{μ_{1}}}{\sqrt{μ_{2}} + \sqrt{μ_{1}}} )^{2} = 0.25 = 25%

Resten blir transmittert:

T = 1 − R = 0.75 = 75%

c) Utsvinget til venstre for skjøten i x = 0 er:

y(x, t) = y_{i}(x, t) + y_{r}(x, t)
= A (sin(kx − ωt) + \frac{1}{2} sin(kx + ωt))
= A (sin kx cos ωt − cos kx sin ωt + \frac{1}{2} sin kx cos ωt + \frac{1}{2} cos kx sin ωt)
= A (\frac{3}{2} sin kx cos ωt − \frac{1}{2} cos kx sin ωt)

som er en sum av to stående bølger.

d) Uansett skjøtens posisjon kan vi velge ϕ_{i} = 0. Fysikken kan ikke avhenge av hvor vi legger skjøten. Med andre ord: Dersom vi hadde en bestemt sammenheng mellom fasene til y_{i} og y_{r} med skjøten i x = 0, må vi fortsatt ha den samme bestemte sammenhengen med skjøten i x = a. Det oppnår vi ved å velge ϕ_{r} = −2ka. Da blir nemlig

y_{i}(a, t) = A sin(ka − ωt) = −A sin(ωt − ka)

og

y_{r}(a, t) = B sin(ka + ωt − 2ka) = B sin(ωt − ka)

dvs

y_{r}(a, t) = −\frac{B}{A} y_{i}(a, t)

den samme sammenhengen mellom y_{r} og y_{i} som vi hadde i x = 0 med skjøten i x = 0, dvs enten y_{r} og y_{i} i fase (motsatt fortegn på B og A) eller y_{r} og y_{i} i motfase (samme fortegn på B og A) i skjøten. Mer generelt må vi, med skjøten i x = a, velge fasekonstanter slik at

ϕ_{r} + ϕ_{i} = −2ka

e) Her er en figur av sluttbildet av animasjonen:

Oppgave 3

a) Hvis kD ≪ 1, er tanh kD ≃ kD, og ω^{2} ≃ gk · kD = gD k^{2}, dvs ω(k) = \sqrt{gD} k. Da er fasehastighet og bølgehastighet like store, v_{f} = v_{g} = \sqrt{gD}.

b) Med λ = 200 km og D = 4 km er kD = 2πD/λ = 2π · 4/200 = 0.126, som er en god del mindre enn 1. Vi kan erstatte tanh kD med kD (tanh(0.1256637) = 0.1250064), og vi har lineær dispersjon, med v_{g} = \sqrt{gD} = \sqrt{9.81 · 4 · 10^{3}} = 198 m/s = 713 km/h. Med 200 km fra en bølgedal til den neste tar det en tid 2 · 10^{5} m/198 m/s = 1009 s ≃ 17 minutter for en hel bølgelengde å passere en gitt posisjon, f.eks et fiskefelt i nærheten. Hvis amplituden er ca 1 meter, vil en slik bølge ikke være merkbar for den som er ute på fiskefeltet.

c) Med dybden D minst 200 m og λ = 100 m, blir kD = 2πD/λ = 2π · 200/100 = 12.57 eller større. Da kan vi trygt erstatte tanh kD med 1: tanh(4π) = 0.999999999975.... Dispersjonsrelasjonen blir ω(k) = \sqrt{gk}, slik at gruppehastigheten er v_{g} = dω/dk = \sqrt{g/4k} = \sqrt{gλ/8π} = \sqrt{9.81 · 100/8π} = 6.25 m/s = 22.5 km/h. Det tar da bølgepakken 200/22.5 ≃ 9 timer å nå inn til land.

d) Gruppehastigheten avtar med kvadratroten av dybden D. Energitettheten i bølgen er proporsjonal med bølgehastigheten og (kvadratet av) amplituden. Hvis bølgehastigheten avtar mens energitettheten holder seg noenlunde konstant, vil amplituden bli stadig større. I verste fall kan resultatet bli en tsunami (”havnebølge”), med katastrofale ødeleggelser.