FY1001/TFY4145 Mekanisk fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten 2014. Veiledning: 18. - 21. november. Innleveringsfrist: Mandag 24. november kl 14.

Øving 12

Dette er siste øving. Den inneholder mange oppgaver. Det holder å gjøre omtrent halvparten for å få øvingen godkjent.

Oppgave 1

a) \overline{S}am spaserer med en hastighet 5 km/t i fartsretningen inne i et tog som kjører med en hastighet 80 km/t. Bestem \overline{S}ams hastighet i forhold til Siv, som betrakter det hele fra perrongen, både i følge Galileo og i følge Einstein. Hvor stor (prosentvis) feil gjør Galileo i dette tilfellet?

b) \overline{S}am løper nå med en hastighet c/2 inne i toget som kjører med en hastighet 3c/4. Hva er nå \overline{S}ams hastighet i forhold til Siv.

c) Vis at så lenge \overline{S}am løper og toget kjører med hastigheter som begge er mindre enn c, vil \overline{S}ams hastighet i forhold til Siv også være mindre enn c. (Denne deloppgaven er muligens litt vanskelig. Et tips kan være å innføre dimensjonsløse størrelser β = v_{\overline{S}S}/c, β_{1} = v_{\overline{S}T} /c og β_{2} = v_{T S}/c. Oppgaven blir da å vise at hvis både β_{1} < 1 og β_{2} < 1, så er også β < 1, eventuelt β^{2} < 1.)

Oppgave 2

Siv blir en dag vitne til følgende dramatiske opptrinn:

\overline{S}am har kokt Arnes øving i bølgefysikk og blir dessverre (for ham) oppdaget. Arne er av den nådeløse typen og fyrer av et skudd med pistolen sin etter \overline{S}am, som prøver å komme seg unna. Siv noterer at \overline{S}am er raskere enn Arne; de to løper med hastigheter henholdsvis 5c/8 og 3c/8. Pistolen gir kula en utgangshastighet 5c/16 (i forhold til pistolen). Klarer \overline{S}am å unnslippe?

Oppgave 3

Anta at du har stilt opp en lang rekke med synkroniserte klokker, en for hver 300000. km. Hvilken tid ser du på klokke nummer 201 når den du har rett ved siden av deg (nummer 1) er 12:00:00? Hvilken tid observerer (dvs: måler) du på klokke nummer 201?

Oppgave 4

\overline{S}am og Siv er tvillinger. Når de fyller 18 år, får de hver sin klokke av foreldrene. Fra sin rike onkel i Amerika får \overline{S}am og Siv et hurtiggående romskip. \overline{S}am er glad i å reise og bestemmer seg for å ta en tur til Epsilon Indi, en stjerne som ligger ca 12 lysår unna jorden. For Siv gjelder ”borte bra men hjemme best”, så hun blir hjemme. \overline{S}am får raskt romskipet opp i toppfart som er 0.98c. Epsilon Indi viser seg å være både ugjestmild og forlatt, så \overline{S}am vender umiddelbart tilbake til jorden. Hvor gamle er Siv og \overline{S}am når \overline{S}am går inn for landing? Bruk c = 3 · 10^{8} m/s der tallverdi på lyshastigheten er nødvendig.

Oppgave 5

Når høyenergetiske partikler (for eksempel protoner) kolliderer med atomer i den øvre delen av atmosfæren (15 - 20 km over bakken), genereres det nye partikler, for eksempel såkalte pioner. Pioner kan være elektrisk nøytrale eller ha ladning +e eller −e. Uansett er de svært ustabile, med levetider bare noen få ns (nanosekunder). Et ladet pion spaltes (”henfaller”) fortrinnsvis til et myon og et (myon-)nøytrino, eksempelvis

π^{+} → μ^{+} + ν_{μ}

Myonet er også ustabilt og spaltes fortrinnsvis til et positron (eventuelt elektron, hvis det er snakk om μ^{−}), et nøytrino og et antinøytrino,

μ^{+} → e^{+} + ν + \overline{ν}

Laboratorieeksperimenter viser at levetiden til myoner med lave hastigheter (dvs essensielt i ro) er ca 2.2 μs. Hvordan kan det da ha seg at en betydelig andel av myonene som dannes i den øvre delen av atmosfæren når helt ned til jordoverflaten? Den gjennomsnittlige energien til myonene som når jordoverflaten er målt til ca 2 GeV, mens myonets hvileenergi er ca 105.7 MeV. (Merk at ”levetid” her må oppfattes som ”midlere levetid”: Noen myoner lever kortere enn dette mens andre lever lenger.)

Oppgave 6

Et positivt ladet pion, π^{+}, som ligger i ro, spaltes i to nye partikler, et myon, μ^{+}, og et myon-nøytrino, ν_{μ}. Pionet har masse m_{π} ≃ 139.57 MeV/c^{2}, myonet har masse m_{μ} ≃ 105.66 MeV/c^{2}. Nøytrinoet har så liten masse at vi kan se bort fra denne og sette m_{ν} = 0.

a) Bruk prinsippet om bevarelse av relativistisk impuls og energi til å vise at myonets energi blir

E_{μ} = \frac{(m_{π}^{2} + m_{μ}^{2}) c^{2}}{2m_{π}}

b) Vis deretter at myonets hastighet blir

v_{μ} = \frac{m_{π}^{2} − m_{μ}^{2}}{m_{π}^{2} + m_{μ}^{2}} c

Regn ut tallverdier for E_{μ} og v_{μ}.

Oppgave 7

En partikkel har i et bestemt inertialsystem total energi 5 GeV og impuls 3 GeV/c. (Dvs størrelsen cp, med dimensjon energi, har verdien 3 GeV.)

a) Hva er partikkelens energi i et system der impulsen er 4 GeV/c?

b) Hva er partikkelens masse?

c) Hva er relativ hastighet mellom disse to inertialsystemene? (Denne relativhastigheten har samme retning som partikkelens hastighet.)

Oppgave 8

En partikkel med masse m og kinetisk energi 2mc^{2} kolliderer med og fester seg til en partikkel i ro med masse 2m. Hva blir massen M til ”komposittpartikkelen”?

En partikkel med masse M er i ro i labsystemet og spaltes spontant i tre identiske partikler, hver med masse m. En av partiklene farer vestover med hastighet 4c/5, en annen farer sørover med hastighet 3c/5.

a) I hvilken retning, og med hvor stor hastighet farer partikkel nr 3?

b) Bestem masseforholdet M/m.

Oppgave 10

To satellitter beveger seg i motsatt retning, med hastigheter henholdsvis −v og v relativt deg. Den ene satellitten sender ut elektromagnetiske bølger med frekvens f_{0}. Hva er frekvensen f på signalet som den andre satellitten mottar? Hva blir forholdet f/f_{0} dersom v ≪ c?

Noen svar: 7 a) 5.66 GeV. b) 4.3 u. c) 0.186c. 8 4.1m. 9 a) 29^{∘}, 0.837c. b) 4.74.