FY1001/TFY4145 Mekanisk fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten 2014. Veiledning: 9. - 12. september. Innleveringsfrist: Mandag 15. september kl 14.

Øving 2

Oppgave 1: Sirkelbevegelse.

En partikkel utfører uniform sirkelbevegelse med konstant vinkelhastighet ω = v/r. Ved å betrakte figuren har vi da

r̂(t) = x̂ cos ωt + ŷsin ωt,
ϕ̂(t) = −x̂ sin ωt + ŷcos ωt.

a) Her har vi allerede antatt at ϕ(t) = ωt, dvs ϕ = 0 for t = 0. Hvordan blir uttrykkene for r̂(t) og ϕ̂(t) hvis vi velger ϕ(0) = π/2?

b) Vis at de tidsderiverte av disse enhetsvektorene blir

˙r̂ = ωϕ̂ ; ˙ ϕ̂ = −ωr̂.

(Tips: Start med uttrykkene for r̂ og ϕ̂ ovenfor.)

c) Vis deretter at

v = rωϕ̂ ; a = −rω^{2}r̂.

(Tips: Husk at r = rr̂.)

Oppgave 2: Pendel.

Ei kule (punktmasse) med masse m er festet til ei vektløs stang med lengde L. Stanga er festet i et punkt A som den kan bevege seg fritt om.

a) Kula trekkes ut til siden (i papirplanet) med en horisontal kraft F. Hvor stor må F være for å holde kula i ro ved vinkelen θ?

b) I stedet for å trekke med en kraft F lar vi systemet rotere om en vertikal akse gjennom opphengningspunktet A, med vinkelhastighet ω. Hvor stor vinkel θ danner stanga med vertikalaksen? Er denne løsningen riktig for alle verdier av ω? Tips: Kula har hastighet v = ωr (r = L sin θ) og sentripetalakselerasjon a = v^{2}/r.

c) Til slutt tenker vi oss at pendelen henger (uten å rotere!) i et fly som akselererer bortover rullebanen. Hva er akselerasjonen dersom θ = 30^{∘}? (Utfør eksperimentet neste gang du er ute og flyr!)

Oppgave 3: Vertikal sirkelbevegelse.

En stein med masse m er festet til enden av ei (masseløs) snor med lengde R, og slynges rundt i en vertikal sirkelbane, som vist i figuren til venstre.

a) Vis at Newtons 2. lov for den tangentielle bevegelsen langs sirkelbanen kan skrives som

R\frac{dω}{dt} = −g cos θ,

og bruk kjerneregelen, \frac{dω}{dt} = \frac{dω}{dθ} · \frac{dθ}{dt}, til å finne en differensialligning for
ω(θ).

b) Løs ligningen og vis at

ω^{2} = ω_{0}^{2} − \frac{2g}{R} · sin θ,

der ω_{0} er vinkelhastigheten ved sin θ = 0.

c) Sett opp en ligning for sentripetalakselerasjonen a_{⊥} og finn snordraget S som funksjon av θ. I hvilken posisjon av banen er det størst fare for at snora ryker? (Bruk uttrykket du har funnet for S(θ) og sjekk det mot din sunne fornuft.) Hva må ω_{0} minst være for at snora hele tida skal være stram? (Sunn fornuft gir en god sjekk også her.)

Oppgave 4: Flervalg på skråplanet.

En kloss med masse m ligger i ro på et skråplan med helningsvinkel θ. Statisk og kinetisk friksjonskoeffisient for kontaktflaten mellom kloss og skråplan er hhv μ_{s} og μ_{k} < μ_{s}.

a) Hvor stor er normalkraften N fra skråplanet på klossen? A) N = mg sin θ B) N = mg cos θ C) N = mg tan θ D) N = mg cot θ (cot x = cos x/ sin x = 1/ tan x)

b) Hvor stor er friksjonskraften f fra skråplanet på klossen? A) f = mg sin θ B) f = mg cos θ C) f = mg tan θ D) f = μ_{s}N

c) Hvor stor må μ_{s} minst være for at klossen skal ligge i ro? A) μ_{s}^{min} = sin θ B) μ_{s}^{min} = cos θ C) μ_{s}^{min} = tan θ D) μ_{s}^{min} = cot θ

d) Hva blir klossens akselerasjon a_{∥} nedover skråplanet dersom μ_{s} ikke er stor nok til at klossen blir liggende i ro? A) a_{∥} = g(sin θ − μ_{k} cos θ) B) a_{∥} = g(cos θ − μ_{k} sin θ) C) a_{∥} = g(sin θ − μ_{s} cos θ) D) a_{∥} = g(cos θ − μ_{s} sin θ)

e) Anta at μ_{s} er for liten til å holde klossen i ro, slik at den akselererer nedover skråplanet. Til hvilken helningsvinkel α må du justere skråplanet for at klossen skal gli med konstant hastighet? A) α = arcsin μ_{k} B) α = arccos μ_{k} C) α = arctan μ_{k} D) α = μ_{k} Oppgave 5: To klosser på skråplanet.

To klosser med masse hhv m_{1} og m_{2} og kinetisk friksjonskoeffisient hhv μ_{1} og μ_{2} glir nedover et skråplan med helningsvinkel β. De to klossene er forbundet med ei tilnærmet masseløs snor. Klossen med masse m_{1} ligger øverst på skråplanet. Snordraget betegner vi med S; S = 0 hvis snora er slakk og S > 0 hvis snora er stram.

a) Hvor stor er friksjonskraften f_{i} fra skråplanet på kloss nr i (i = 1, 2)? A) f_{i} = μ_{i}m_{i}g sin β B) f_{i} = μ_{i}m_{i}g cos β C) f_{i} = μ_{i}m_{i}g tan β D) f_{i} = μ_{i}m_{i}g cot β

b) Hva er akselerasjonen a_{1} til kloss nr 1? A) a_{1} = g(sin β + μ_{1} cos β) + S/m_{1} B) a_{1} = g(sin β − μ_{1} cos β) + S/m_{1} C) a_{1} = g(sin β + μ_{1} cos β) − S/m_{1} D) a_{1} = g(sin β − μ_{1} cos β) − S/m_{1}

c) Hva er akselerasjonen a_{2} til kloss nr 2? A) a_{2} = g(sin β + μ_{2} cos β) + S/m_{2} B) a_{2} = g(sin β − μ_{2} cos β) + S/m_{2} C) a_{2} = g(sin β + μ_{2} cos β) − S/m_{2} D) a_{2} = g(sin β − μ_{2} cos β) − S/m_{2}

d) Hva er betingelsen for at snora skal holde seg stram? (Dvs, med et snordrag S > 0.) A) m_{1} > m_{2} B) μ_{1} > μ_{2} C) μ_{1}m_{1} > μ_{2}m_{2} D) m_{1}/μ_{1} > m_{2}/μ_{2}

e) Hva må vinkelen β være for at de to klossene skal gli nedover skråplanet med samme konstante hastighet? A) β = arcsin[(μ_{1}m_{1} + μ_{2}m_{2})/(m_{1} + m_{2})] B) β = arctan[(μ_{1}m_{1} + μ_{2}m_{2})/(m_{1} + m_{2})] C) β = arcsin[(m_{1} + m_{2})/(μ_{1}m_{1} + μ_{2}m_{2})] D) β = arctan[(m_{1} + m_{2})/(μ_{1}m_{1} + μ_{2}m_{2})]