FY1001/TFY4145 Mekanisk Fysikk Eksamen 16. desember 2014 (Foreløpig versjon pr 5. desember 2014.)

FORMLER: Fete symboler angir vektorer. Symboler med hatt over angir enhetsvektorer. Formlenes gyldighetsområde og de ulike symbolenes betydning antas forøvrig å være kjent. Symbolbruk og betegnelser som i forelesningene.

MEKANISK FYSIKK INKL SVINGNINGER

• Newtons andre lov: F = dp/dt  p = mv = mṙ
• Konstant akselerasjon: v = v_{0} + at  x = x_{0} + v_{0}t + \frac{1}{2}at^{2}
• Konstant vinkelakselerasjon: ω = ω_{0} + αt  θ = θ_{0} + ω_{0}t + \frac{1}{2}αt^{2}
• Arbeid: dW = F · dr  Kinetisk energi: K = \frac{1}{2}mv^{2}
• Konservativ kraft og potensiell energi: U(r) = − ∫\begin{matrix}r \\ r & 0 \end{matrix} F · dr
• Friksjon,  statisk: f ≤ μ_{s}N  kinetisk: f = μ_{k}N
• Luftmotstand (liten v): f = −kv  Luftmotstand (stor v): f = −Dv^{2}v̂
• Tyngdepunkt: R^{CM} = \frac{1}{M} ∑_{i} r^{i}m^{i} → \frac{1}{M} ∫ r · dm  Tyngdepunktbevegelsen: MR̈^{CM} = F^{ytre}
• Sirkelbevegelse: v = rω Sentripetalakselerasjon: a = −v^{2}/r Baneakselerasjon: a = dv/dt = r dω/dt
• Dreiemoment: τ = (r − r_{0}) × F  Statisk likevekt: ΣF_{i} = 0 Στ_{i} = 0
• Dreieimpuls: L = (r − r_{0}) × p  N2 rotasjon: τ = dL/dt
• Stivt legeme, refleksjonssymmetri mhp rotasjonsaksen: L = L_{b} + L_{s} = (R_{CM} − r_{0}) × MV + I_{0}ω
• Kinetisk energi, stivt legeme: K = \frac{1}{2}MV^{2} + \frac{1}{2}I^{0}ω^{2}  Treghetsmoment: I = ∑_{i} m^{i}r_{i}^{2} → ∫ r^{2}dm

• Stivt legeme, rotasjon om fast akse: K = \frac{1}{2}Iω^{2}
• N2 rotasjon, akse med fast orientering: τ = I \frac{dω}{dt}
• Steiners sats (parallellakseteoremet): I = I_{0} + Md^{2}
• Gravitasjon: U(r) = −\frac{GMm}{r} F = −\frac{GMm}{r^{2}} r̂ = −r̂\frac{dU(r)}{dr} V (r) = \frac{U(r)}{m} g = \frac{F}{m} = −r̂\frac{dV (r)}{dr}
• Enkel harmonisk oscillator:  ẍ + ω_{0}^{2}x = 0  T = 2π/ω_{0}  f = 1/T = ω_{0}/2π

Masse i fjær: ω_{0} = \sqrt{k/m} Matematisk pendel: ω_{0} = \sqrt{g/L} Fysisk pendel: ω_{0} = \sqrt{mgd/I}

• Fri, dempet svingning, langsom bevegelse i fluid:  mẍ + bẋ + kx = 0
⇒ ẍ + 2γẋ + ω_{0}^{2}x = 0  ω_{0}^{2} = k/m  γ = b/2m
Underkritisk demping (γ < ω_{0})  x(t) = Ae^{−γt} sin(ωt + ϕ)  ω = \sqrt{ω_{0}^{2} − γ^{2}}
Overkritisk demping (γ > ω_{0})  x(t) = Ae^{−α_{1}t} + Be^{−α_{2}t}  α_{1,2} = γ ± \sqrt{γ^{2} − ω_{0}^{2}}

Kritisk demping (γ = ω_{0}) x(t) = Ae^{−γt} + Bte^{−γt}

• Tvungen svingning, harmonisk ytre kraft:  mẍ + bẋ + kx = F_{0} cos ωt

(partikulær-)løsning: x(t) = A(ω) sin(ωt + ϕ(ω))

amplitude: A(ω) = \frac{F_{0}/m}{\sqrt{(ω^{2} − ω_{0}^{2})^{2} + (2γω)^{2}}}

halvverdibredde: Δω ≃ 2γ Q-faktor: Q = ω_{0}/Δω

BØLGEFYSIKK

• Harmonisk plan bølge (forplantning i positiv x-retning):

ξ(x, t) = ξ_{0} sin(kx − ωt + ϕ) , k = 2π/λ , ω = 2π/T = 2πf

• Bølgeligning:

\frac{∂^{2}ξ(x, t)}{∂x^{2}} = \frac{1}{v^{2}} \frac{∂^{2}ξ(x, t)}{∂t^{2}}

• Fasehastighet: v = λ/T = ω/k

• Gruppehastighet: v_{g} = dω/dk

• Lineær respons i elastiske, isotrope medier (Hookes lov):

mekanisk spenning = elastisk modul × relativ tøyning

S = strekk-kraft, B = bulkmodul, E = elastisitetsmodul, G = skjærmodul

• For transversale bølger på streng: v = \sqrt{S/μ}

• For longitudinale bølger (lydbølger) i fluider (gasser og væsker): v = \sqrt{B/ρ} • For longitudinale bølger i tynn stang (fast stoff): v = \sqrt{E/ρ}

• For longitudinale (v_{P}) og transversale (v_{S}) bølger i faste stoffer (bulk): v_{P} = \sqrt{(B + 4G/3)/ρ} ; v_{S} = \sqrt{G/ρ}

• Midlere energi pr lengdeenhet for harmonisk bølge på streng:

\overline{ε} = \frac{1}{2}μω^{2}y_{0}^{2}

• Midlere energi pr volumenhet for harmonisk plan longitudinal bølge (lydbølge):

\overline{ε} = \frac{1}{2}ρω^{2}ξ_{0}^{2}

• Midlere effekt transportert med harmonisk bølge på streng:

\overline{P} = v\overline{ε} = \frac{1}{2}vμω^{2}y_{0}^{2}

• (Midlere) Intensitet i harmonisk plan longitudinal bølge (lydbølge):

I = v\overline{ε} = \frac{1}{2}vρω^{2}ξ_{0}^{2}

• Lydtrykk:

Δp = −B \frac{∂ξ}{∂x}

• Lydtrykksnivå:

β(dB) = 10 log \frac{I}{I_{0}} med I_{0} = 10^{−12} W/m^{2}

• Refleksjon og transmisjon av bølge på streng:

y_{r0} = \frac{\sqrt{μ_{2}} − \sqrt{μ_{1}}}{\sqrt{μ_{2}} + \sqrt{μ_{1}}} y_{i0} ; y_{t0} = \frac{2\sqrt{μ_{1}}}{\sqrt{μ_{2}} + \sqrt{μ_{1}}} y_{i0} ; R = \begin{matrix}\overline{P} & r \\ \overline{P} & i \end{matrix} = (\frac{y_{r0}}{y_{i0}} )^{2} ; T = \begin{matrix}\overline{P} & t \\ \overline{P} & i \end{matrix} = 1 − R

• Dopplereffekt:

f_{O} = \frac{v + v_{m} − v_{O}}{v + v_{m} − v_{S}} f_{S}

• Svevning (”interferens i tid”):

f_{S} = |f_{1} − f_{2}|

• Interferens (romlig):

I_{max} for d sin θ = n λ (n = 0, 1, 2, …)

RELATIVITETSTEORI

• Lorentzfaktor:

γ = (1 − v^{2}/c^{2})^{−1/2}

• Lorentztransformasjonene (\overline{S} har hastighet v = vx̂ i forhold til S):

\begin{aligned}\overline{x} & = & γ (x − vt) \\ \overline{y} & = & y \\ \overline{z} & = & z \\ \overline{t} & = & γ (t − \frac{v}{c^{2}} x) \end{aligned}  \begin{aligned}x & = & γ (\overline{x} + v\overline{t}) \\ y & = & \overline{y} \\ z & = & \overline{z} \\ t & = & γ (\overline{t} + \frac{v}{c^{2}} \overline{x}) \end{aligned}

• Tidsdilatasjon:

Δt = γΔ\overline{t}

• Lengdekontraksjon:

Δ\overline{x} = γΔx

• Hastighet i S (u = u_{x}x̂ + u_{y}ŷ + u_{z}ẑ): u_{x} = dx/dt u_{y} = dy/dt u_{z} = dz/dt Hastighet i \overline{S} (\overline{u} = \overline{u}_{x}x̂ + \overline{u}_{y}ŷ + \overline{u}_{z}ẑ): \overline{u}_{x} = d\overline{x}/d\overline{t} \overline{u}_{y} = d\overline{y}/d\overline{t} \overline{u}_{z} = d\overline{z}/d\overline{t} Transformasjon av hastigheter: u_{x} = (\overline{u}_{x} + v)/(1 + \overline{u}_{x}v/c^{2}) u_{y} = (\overline{u}_{y}/γ)/(1 + \overline{u}_{x}v/c^{2}) u_{z} = (\overline{u}_{z}/γ)/(1 + \overline{u}_{x}v/c^{2})

• Addisjon av hastigheter (alle hastigheter i samme retning; Einsteins addisjonsformel):

v_{AC} = \frac{v_{AB} + v_{BC}}{1 + v_{AB}v_{BC}/c^{2}}

• Dopplereffekt for elektromagnetiske bølger:

\overline{f} = f (\frac{c − v}{c + v} )^{1/2}

• Relativistisk impuls:

p = γmv

• Relativistisk energi:

E = γmc^{2} ; E_{0} = mc^{2} ; K = E − E_{0} ; E^{2} = (pc)^{2} + (mc^{2})^{2}

• Elastisk prosess: E, p, K og m bevart.

• Uelastisk prosess: E og p bevart. MIDDELVERDI OG FEIL I MÅLINGER

• Gauss’ feilforplantningslov: (Δq)^{2} = ∑_{i=1}^{n} (\frac{∂q}{∂a_{i}} Δa_{i})^{2}

• Middelverdi (gjennomsnittsverdi): \overline{x} = \frac{1}{N} ∑_{i=1}^{N} x_{i}

• Standardavvik (feil i enkeltmåling): δ_{x} = \sqrt{(\frac{1}{N−1} ∑_{i=1}^{N} (x_{i} − \overline{x})^{2})}

• Standardfeil (feil i middelverdi): δ\overline{x} = δ_{x}/\sqrt{N} KONSTANTER, OMREGNINGSFAKTORER OG DEKADISKE PREFIKSER

• Fundamentale konstanter:

G = 6.67 · 10^{−11} Nm^{2}/kg^{2}
g = 9.81 m/s^{2})
m_{e} = 9.11 · 10^{−31} kg
m_{p} = m_{n} = 1.67 · 10^{−27} kg

h = 6.63 · 10^{−34} Js_{h̄ = h/2π = 1.05 · 10^{−34} Js}_{e = 1.60 · 10^{−19} C}_{c = 3.00 · 10^{8} m/s}

• Omregningsfaktorer:

1 eV = 1.60 · 10^{−19} J
1 Å = 10^{−10} m

• Dekadiske prefikser: p = piko = 10^{−12}, n = nano = 10^{−9}, μ = mikro = 10^{−6}, m = milli = 10^{−3}, c = centi = 10^{−2}, k = kilo = 10^{3}, M = mega = 10^{6}, G = giga = 10^{9}