FY1001/TFY4145/TFY4109. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten 2015.

Løsningsforslag til øving 8

Oppgave 1 a)

y = A sin(kx − ωt) = A sin [2π (\frac{x}{λ} − \frac{t}{T} )]  (1)

med A = 1.0 cm, T = 2π/ω = 10 ms og λ = 2π/k = 10 cm. Figur:

Riktig svar: A

b) Siden y = y(x − vt) (med v = ω/k), forplanter bølgen seg i positiv x-retning. Riktig svar: A

c) Utsvinget vil bli det samme som for t = 0 for hver hele periode, dvs for t = nT = 10n ms, der n = 1, 2, 3, . . .. Riktig svar: D

d) Vi ser av figuren ovenfor, og har allerede i punkt a slått fast at T = 10 ms. Riktig svar: D

e) Vi ser av figuren ovenfor, og har allerede i punkt a slått fast at λ = 10 cm. Riktig svar: C

f) En bølgetopp forplanter seg en bølgelengde λ = 10 cm på en periode T = 10 ms. Altså er fasehastigheten

v = \frac{λ}{T} = \frac{0.10 m}{0.010 s} = 10 m/s

Riktig svar: D

g) Hastigheten til strengelementene (i y-retning) er gitt ved:

v_{p} = \frac{∂y}{∂t} = \frac{∂}{∂t} (A sin(kx − ωt)) = −ωA cos(kx − ωt).  (2)

Maksimalverdien av cos(kx − ωt) er 1. Altså er maksimalhastighet for et strengelement:

v_{p}^{max} = ωA = 200π s^{−1} · 0.010 m = 2π m/s ≈ 6.3 m/s

Riktig svar: D h)

a = \frac{∂^{2}y}{∂t^{2}} = \frac{∂^{2}}{∂t^{2}} (A sin(kx − ωt)) = \frac{∂}{∂t} (−ωA cos(kx − ωt)) = −ω^{2}A sin(kx − ωt)  (3)

som har maksimalverdi

a^{max} = ω^{2}A = (200π s^{−1})^{2} · 0.010 m = 3.9 · 10^{3} m/s^{2}.

Riktig svar: A

i) Vi har

sin u = cos (u − \frac{π}{2} ) .

Derfor, dersom vi velger ϕ = −π/2, vil y = A cos(kx−ωt+ϕ) beskrive samme bølge som y = A sin(kx−ωt). Riktig svar: D \underline{Merknad:} Fra (1), (2) og (3) har vi

y = A sin(kx − ωt)
v_{p} = −ωA cos(kx − ωt) = −ωA sin (kx − ωt + \frac{π}{2} )
= ωA sin (kx − ωt − \frac{π}{2} ) = ωA sin [kx − (ωt + \frac{π}{2} )]
a = −ω^{2}A sin(kx − ωt) = ω^{2}A sin(kx − ωt − π) = ω^{2}A sin[kx − (ωt + π)].

Med andre ord kan vi si at a i tid er faseforskjøvet π/2 foran v_{p} som igjen er faseforskjøvet π/2 foran y.

Oppgave 2 a)

y_{3} = y_{1} + y_{2}
= A cos(kx − ωt + ϕ_{1}) + A cos(kx − ωt + ϕ_{2})
= 2A cos \frac{kx − ωt + ϕ_{1} + kx − ωt + ϕ_{2}}{2} · cos \frac{ϕ_{1} − ϕ_{2}}{2}
= 2A cos (kx − ωt + \frac{ϕ_{1} + ϕ_{2}}{2} ) cos \frac{ϕ_{1} − ϕ_{2}}{2}
= A_{3} cos(kx − ωt + ϕ_{3})  (4)

der vi har satt

A_{3} ≡ 2A cos \frac{ϕ_{1} − ϕ_{2}}{2} ≡ 2A cos \frac{Δϕ}{2}  (5)
ϕ_{3} = \frac{ϕ_{1} + ϕ_{2}}{2}  (6)

Riktig svar: B b) |A_{3}| har maksimalverdi når

|cos \frac{Δϕ}{2}| = 1,

dvs når Δϕ/2 = n · π, n = 0, 1, 2, …, dvs når Δϕ = n · 2π, n = 0, 1, 2, . . .. |A_{3}| har minimalverdi nr

cos \frac{Δϕ}{2} = 0,

dvs når Δϕ/2 = (2n + 1) · π/2, n = 0, 1, 2, …, dvs når Δϕ = (2n + 1) · π, n = 0, 1, 2, . . ..

Riktig svar: B

c) Med de beregnede faseforskjellene fra punkt b) finner vi at |A_{3}|^{max} = 2A (bølgene adderes i fase) og |A_{3}|^{min} = 0 (bølgene adderes i motfase). Riktig svar: A Oppgave 3

a) Bølgehastigheten for transversale bølger på en streng er utledet i forelesningene. Vi får

v = \sqrt{\frac{S}{μ}} = \sqrt{\frac{8.5}{0.028}} ≃ 17 m/s

Riktig svar: A

b)

v = \frac{λ}{T} = λf

som gir bølgelengden

λ = \frac{v}{f} ≃ 17 m

Riktig svar: A

c) Vi har ikke dispersjon i dette systemet, så v er den samme for alle bølger, uansett frekvens. Riktig svar: A

d) Ettersom λ er omvendt proporsjonal med f, vil en frekvens på 3.0 Hz resultere i en bølgelengde på ca 5.8 m. Riktig svar: D

e) og f) Vi har harmoniske bølger som kan beskrives ved y(x, t) = A cos(kx − ωt + ϕ)

der k = 2π/λ er bølgetallet og ϕ en fasekonstant. Vi velger x = 0 ved svingekilden og har

y(0, t) = A cos(−ωt + ϕ) = A cos ωt

som gir ϕ = 0 siden cos u = cos(−u). Dermed er bølgen beskrevet ved

y(x, t) = A cos(kx − ωt)

For x = 1.0 og x = 5.0 m får vi

y(1.0, t) ≃ A cos (2π \frac{1.0}{17} − 2πt)

y(5.0, t) ≃ A cos (2π \frac{5.0}{17} − 2πt)

med t målt i sekunder. Riktig svar: B (på begge)

g) Faseforskjellen mellom utsvinget i disse to posisjonene er

Δϕ = \frac{8π}{17} ≃ 1.4 ≃ 83^{∘}

Riktig svar: C Oppgave 4

a) Små transversale utsving på en slik streng oppfyller bølgeligningen

\frac{∂^{2}ξ}{∂x^{2}} = \frac{μ}{S} \frac{∂^{2}ξ}{∂t^{2}} = \frac{1}{v^{2}} \frac{∂^{2}ξ}{∂t^{2}} ,

og det eneste vi krever av funksjonen ξ(x, t) er at den kan skrives på formen f(x − vt) eller g(x + vt), eller en kombinasjon av disse to, der f og g er vilkårlige to ganger deriverbare funksjoner. Den oppgitte gaussformede bølgepulsen er på en slik form (ξ(x − vt)) og representerer dermed en mulig bølgepuls langs strengen. Riktig svar: A

b) Bølgen propagerer i positiv x-retning. Riktig svar: A

c) Som utledet i forelesningene, og som vi ser av ligningen ovenfor, har vi

v = \sqrt{\frac{S}{μ}}

(Uttrykket på høyre side har dimensjon

\sqrt{\frac{kg · m/s^{2}}{kg/m}} = \sqrt{\frac{m^{2}}{s^{2}}} = m/s

som er det vi skal ha.) Riktig svar: B

d) Bølgepulsens energi endrer seg ikke med tiden. Vi kan derfor beregne E for et hvilket som helst tidspunkt, for eksempel t = 0. Med energi ε(x, 0) dx på intervallet (x, x + dx), må total energi være

E = ∫_{−∞}^{∞} ε(x, 0) dx.

Vi har, med t = 0,

\frac{∂ξ}{∂x} = ξ_{0}(−2x/a^{2})e^{−x^{2}/a^{2}},

som gir

ε(x, 0) = \frac{2μv^{2}ξ_{0}^{2}}{a^{2}} \frac{2x^{2}}{a^{2}} e^{−2x^{2}/a^{2}}.

Vi substituerer β = \sqrt{2}x/a som gir (med dx = a dβ/\sqrt{2})

E = \frac{2μv^{2}ξ_{0}^{2}}{\sqrt{2}a} ∫_{−∞}^{∞} β^{2}e^{−β^{2}} = \frac{2μv^{2}ξ_{0}^{2}}{\sqrt{2}a} · \frac{\sqrt{π}}{2} = \frac{\sqrt{π}μv^{2}ξ_{0}^{2}}{\sqrt{2}a}

Så til tross for at det er fristende å insistere på alternativ D: Riktig svar er: C