FY1001/TFY4109/TFY4145. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten 2015. Løsningsforslag til Test 7.

Oppgave 1 Newtons 2. lov for rotasjon om fast akse,

τ = L̇ = Iω̇ = Iθ̈,

med dreiemoment τ = −Dθ gir ligningen

−Dθ = Iθ̈ ⇒ θ̈ + \frac{D}{I} θ = 0.

Dette er en harmonisk oscillator med vinkelfrekvens ω_{0} = \sqrt{D/I}, og dermed svingetid T = 2π\sqrt{I/D}. Riktig svar: A.

Oppgave 2 Steiners sats gir at kulas treghetsmoment mhp en akse gjennom festepunktet er

I = I_{0} + Md^{2} = \frac{2}{5}MR^{2} + M(3R/2)^{2} = \frac{53}{20}MR^{2}.

Svingetiden blir dermed

T = 2π\sqrt{\frac{I}{Mgd}} = 2π\sqrt{\frac{53R}{30g}},

som med R = 0.05 m og g = 9.81 m/s^{2} gir T = 0.6 s. Riktig svar: C.

Oppgave 3 Steiners sats gir at kulas treghetsmoment mhp en akse gjennom festepunktet er

I = I_{0} + Md^{2} = \frac{2}{3}MR^{2} + M(2R)^{2} = \frac{14}{3}MR^{2}.

Svingetiden blir dermed

T = 2π\sqrt{\frac{I}{Mgd}} = 2π\sqrt{\frac{7R}{3g}}.

Riktig svar: D.

Oppgave 4 Newtons 2. lov gir her ligningen

−kx − bẋ = mẍ,

som f.eks kan skrives

mẍ + kx = −bẋ.

Vi regner så ut dE/dt (med bruk av kjerneregelen for derivasjon):

\frac{dE}{dt} = mẋẍ + kxẋ = ẋ(mẍ + kx).

Her kan de to leddene i parentes erstattes av −bẋ, slik at |dE/dt| = bẋ^{2}. Riktig svar: E.

Oppgave 5 Nei, det er nok ikke bare å stille seg oppå ei fjærvekt og lese av tyngden, og dermed massen, når det ikke lenger er noen tyngdekraft til stede! Men med en enkel harmonisk oscillator går det fint. Stolen har, med m_{0} = 42 kg og T_{0} = 0.79 s, fjærkonstant

k = \frac{4π^{2}m_{0}}{T_{0}^{2}} = 2657 N/m.

Stol pluss astronaut har dermed, med T_{1} = 1.36 s, masse

m_{1} = \frac{kT_{1}^{2}}{4π^{2}} = 124 kg.

Astronautens masse er da 82 kg. Riktig svar: C.

Oppgave 6 Ligningen for ladningen Q på kondensatoren kan skrives på formen

Q̈ + \frac{1}{LC} Q = 0,

og vi gjenkjenner en harmonisk oscillator med frekvens

f = \frac{ω_{0}}{2π} = \frac{1}{2π\sqrt{LC}} .

Riktig svar: B.

Oppgave 7 Ligningen for ladningen q viser at 1/C spiller samme rolle som k, L spiller samme rolle som m, og R spiller samme rolle som b. Dermed: Q = \sqrt{L/CR^{2}}. Riktig svar: A.

Oppgave 8 Max utsving fra likevekt er 1.0 mm. Riktig svar: E.

Oppgave 9 λ = 2.0 m. Riktig svar: A.

Oppgave 10 v = 0.5 m/0.2 s = 2.5 m/s. Riktig svar: B.

Oppgave 11 f = v/λ = 2.5 m/s/2.0 m = 1.25 Hz. Riktig svar: C.

Oppgave 12 Et gitt element av strengen utfører en harmonisk svingning, f.eks y(t) = y_{0} sin ωt, slik at ẏ = ωy_{0} cos ωt, dvs maksimal vertikal hastighet er 2πfy_{0} = 2π · 1.25 · 1.0 mm/s = 7.9 mm/s. Riktig svar: B.

Oppgave 13 Siden y(0, 0) = y_{0} cos ϕ = 0, er ϕ = π/2. Riktig svar: C.

Oppgave 14 v = λf = 0.4 · 100 = 40 m/s. Riktig svar: A.

Oppgave 15 Maksimal vertikal hastighet er 2πfy_{0} = 2π · 100 · 1 mm/s = 63 cm/s. Riktig svar: C.

Oppgave 16 S = v^{2}M/L = 100^{2} · 0.025/2 = 125 N. Riktig svar: B.

Oppgave 17 Fjærkraften kA må overstige maksimal friksjonskraft μ_{s}N = μ_{s}mg, dvs A > μ_{s}mg/k. Riktig svar: A.

Oppgave 18 Med svak demping er 1/τ ≪ ω, slik at vi kan skrive x(t) ≃ A cos(ωt + ϕ) i starten. Dermed er

ẍ(t) ≃ −ω^{2}x(t) = − (\frac{2π}{T} )^{2} x(t)

i starten. Fra figuren ser vi at T ≃ 4 s og x(0) = 0.6 m. Dette gir en akselerasjon ca - 1.5 m/s^{2} i starten. Riktig svar: B.

Oppgave 19 På to hele perioder, fra 1. til 3. topp, reduseres amplituden fra ca 0.92 m til ca 0.42 m. Dermed:

\frac{x(t + 2T)}{x(t)} = e^{−2T/τ} = \frac{0.42}{0.92},

som gir (med T = 4 s)

τ ≃ \frac{2T}{ln(0.92/0.42)} ≃ 10 s.

Riktig svar: B.

Oppgave 20 Den kinetiske energien til en harmonisk oscillator svinger med dobbelt så stor frekvens og dermed halvparten så stor periode som utsvinget. Derfor er B ikke riktig. Riktig svar: B.