FY1001/TFY4109/TFY4145. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten 2015. Løsningsforslag til Test 9.

Oppgave 1 Intensiteten I i en bølge er proporsjonal med kvadratet av amplituden ξ. Prinsippet om energibevarelse avgjør hvordan I, og dermed ξ, avtar med avstanden r fra bølgekilden. Kulebølgers energi passerer gjennom kuleflater med areal A som øker proporsjonalt med r^{2}. Dermed er I(r) ∼ 1/r^{2}, og ξ(r) ∼ 1/r. Riktig svar: E.

Oppgave 2 Se oppgave 1. For sylinderbølger er A(r) ∼ r, slik at I(r) ∼ 1/r og ξ(r) ∼ 1/r^{1/2}. Riktig svar: D.

Oppgave 3 Se oppgave 1. For plane bølger er A uavhengig av r, slik at også I og ξ blir uavhengig av r. Riktig svar: C.

Oppgave 4 Avstanden mellom bølgetopper i retning k er rett og slett bølgelengden λ = 2π/k, og her er k = \sqrt{4 + 1 + 16} = \sqrt{21} m^{−1}. Dermed er λ = 1.37 m. Riktig svar: B.

Oppgave 5 Avstanden mellom bølgetopper målt i x-retning er 2π/k_{x} = 3.14 m. Riktig svar: E.

Oppgave 6 Hvis vi ser parallelt med z-aksen, ser vi et todimensjonalt bølgemønster der det relevante bølgetallet er k_{xy} = \sqrt{k_{x}^{2} + k_{y}^{2}} = \sqrt{5} m^{−1}. Avstanden fra bølgetopp til bølgetopp i denne projeksjonen blir dermed

2π/\sqrt{k_{x}^{2} + k_{y}^{2}} = 2π/\sqrt{5} = 2.81 m. Men: Det er ikke denne lengden oppgaven spør etter. Oppgaven spør etter avstanden fra en bølgetopp til den neste dersom vi ”spaserer” langs linjen x = y. Og det er uten videre klart at denne lengden må være noe større enn 2.81 m. Som vektor peker k_{xy} i en retning som danner en vinkel α med x-aksen, slik at tan α = k_{y}/k_{x} = 1/2, med andre ord α = 26.6^{∘}. Siden linjen x = y danner en vinkel 45^{∘} med x-aksen, blir det en vinkel β = 45^{∘} − α = 18.4^{∘} mellom vektoren k_{xy} og linjen x = y. Og vi må dermed dividere de ovennevnte 2.81 m med cos 18.4^{∘} = 0.949 for å komme fram til den etterspurte lengden. Svaret blir dermed 2.96 m. Riktig svar: Ingen!

Oppgave 7 Ved normale betingelser er v = 340 m/s, så med bølgelengden 1.37 m fra oppgave 4 får vi frekvensen f = v/λ = 340/1.37 = 248 Hz. Riktig svar: D.

Oppgave 8 Lydhastigheten i vannet er v_{v} = \sqrt{2.15 · 10^{9}/1000} = 1466 m/s. Da blir bølgelengden λ = 1466/248 = 5.9 m. Riktig svar: A.

Oppgave 9 Intensiteten er proporsjonal med kvadratet av både frekvensen og amplituden. En halvering av begge disse størrelsene må da redusere intensiteten til 1/16 av den opprinnelige. Dette tilsvarer en reduksjon med ca 94%. Riktig svar: D.

Oppgave 10 Lydtrykknivået faller med

Δβ = β_{1} − β_{2} = 10 log(I_{1}/I_{2}) = 10 log 16 = 12 dB.

Riktig svar: D.

Oppgave 11 Bølgens mekaniske energi pr lengdeenhet kan f.eks uttrykkes som

ε = S (\frac{∂y}{∂x})^{2} ,

der S er strekk-kraften og y er utsvinget. Her er |∂y/∂x| = 2y_{0}/L, dvs konstant, slik at E = εL = 4Sy_{0}^{2}/L. Riktig svar: B.

Oppgave 12

R = (\frac{\sqrt{3} − \sqrt{2}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}})^{2} = 0.01.

Riktig svar: A.

Oppgave 13 R er uendret ved ombytte av de to delstrengene. Riktig svar: A.

Oppgave 14 Her er frekvensen til grunntonen \sqrt{150/0.003}/2.00 = 111.8 Hz. Vi må gange dette med 7 for å få den aktuelle frekvensen 783 Hz, som dermed tilsvarer en stående bølge med 7 halve bølgelengder på strengens lengde. Med andre ord, 6 noder inne på strengen. Riktig svar: B.

Oppgave 15 Vi har ε_{K} = μ(∂y/∂t)^{2}/2 og ε_{U} = S(∂y/∂x)^{2}/2. Derivasjon av oppgitt y gir

ε_{K} = 2y_{0}^{2}μω^{2} sin^{2} kx sin^{2} ωt

og

ε_{U} = 2y_{0}^{2}Sk^{2} cos^{2} kx cos^{2} ωt.

Men siden μω^{2} = Sk^{2}, kan vi skrive om sistnevnte til

ε_{U} = 2y_{0}^{2}μω^{2} cos^{2} kx cos^{2} ωt.

Midling over en periode gir en faktor 1/2 for begge energileddene. Vi har at sin^{2} kx = 0 i nodene og sin^{2} kx = 1 i bukene, mens for cos^{2} kx er det omvendt. Dermed blir alternativ D korrekt. Riktig svar: D.

Oppgave 16 Uansett om vi midler i rom eller tid blir midlere total energi pr lengdeenhet lik y_{0}^{2}μω^{2} = y_{0}^{2}Sk^{2}. Riktig svar: A.

Oppgave 17 Grunntonens bølgelengde er 4 ganger rørets lengde. Da er frekvensen f = 340/4·3 = 340/12 = 28 Hz. Riktig svar: B.

Oppgave 18

f_{O} = \frac{340 + 20}{340} · 400 = 424 Hz.

Riktig svar: C.

Oppgave 19 Veggen hører og reflekterer frekvensen

f_{vegg} = (340/330) · f_{utsendt}.

Flaggermusen hører dermed frekvensen

f_{flaggermus} = \frac{340 + 10}{340} · \frac{340}{330} · f_{utsendt} = \frac{350}{330} f_{utsendt}.

Dvs i området 10.6 til 106 kHz. Riktig svar: E.

Oppgave 20 (340 + 10)/(340 − 10) = 1.06, dvs dere kan generere et dopplerskift på 6%. Konklusjonen bli den samme dersom dere løper fra hverandre. Riktig svar: C.