Institutt for fysikk, NTNU TFY4150/FY1303/SIF4012/MNFFY103 Elektrisitet og magnetisme Høst 2003

Løsningsforslag til øving 10

Veiledning mandag 20. oktober

Oppgave 1

a) Dette systemet kan oppfattes som en seriekobling av tre motstander: de to 30 cm lange Al–ledningene og motstanden R = 10 Ω. Motstanden til Al–ledningene blir

R_{A} = \frac{l}{σA} = ·\frac{0.60m}{3.54 · 10^{7} Ω^{−1}m^{−1} · 10^{−6}m^{2}} = 0.017 Ω

Samme strømstyrke I går gjennom hele systemet. Den er

I = \frac{V}{R + R_{A}} = \frac{1.5 V}{10.017 Ω} = 0.1497 A ≃ 0.15 A

ifølge Ohms lov. Vi får dermed spenningsfallene

V_{R} = RI = 10 Ω · 0.1497 A = 1.497 V

over motstanden R og

V_{A} = R_{A}I = 0.017 Ω · 0.1497 A = 0.025 V

over de to Al–ledningene tilsammen.

b) Strømstyrken I beregnet vi under punkt a). Utviklet effekt i motstanden R blir

P = V_{R}I = 1.497 V · 0.1497 A = 0.224 W

(0.23 W dersom vi neglisjerer motstanden og spenningsfallet over Al–ledningene)

c) Her må vi bestemme tettheten av frie elektroner n. Deretter kan vi bruke I = j · A = nevA til å beregne midlere driftshastighet v. I Al har vi 2700 kg pr m^{3}. Dette tilsvarer 2700/0.02698 mol = 100074 mol = 100074 ·6.02 · 10^{23} atomer = 6.02 · 10^{28} atomer, og da like mange frie elektroner, med antagelsen ett elektron pr atom Al. Midlere driftshastighet blir

v = \frac{I}{neA} = \frac{0.15}{6.02 · 10^{28} · 1.6 · 10^{−19} · 10^{−6}} = 1.56 · 10^{−5} m/s = 15.6μm/s

Midlere termiske hastighet for elektronene anslår vi ved å sette kinetisk energi lik termisk energi:

\frac{1}{2}mv^{2} = \frac{3}{2}k_{B}T
⇒ v = \sqrt{\frac{3k_{B}T}{m}} ≃ 10^{5} m/s

Her er k_{B} = 1.38 · 10^{23} J/K Boltzmanns konstant. Vi ser at midlere driftshastighet er ca 10 størrelsesordener mindre enn midlere termiske hastighet.

Oppgave 2

a) Dersom 700 W tilsvarer 90% av total effekt, blir total effekt 700/0.9 W = 778 W. Denne effekten skal leveres i 0.005 s. Da må en energi (700/0.9)·0.005 J = 3.89 J lagres i kondensatoren.

b) Vi har utledet i forelesningene hvor stort arbeid som skal til for å lade opp en kondensator med kapasitans C. La oss kort rekapitulere: For å øke ladningen på kondensatoren fra q til q +dq fordres arbeidet dW = v(q)dq, der v(q) er spenningen over kondensatoren med ladning q. Pr definisjon er C = q/v slik at dW = C^{−1}q dq og totalt arbeid W = Q^{2}/2C for å øke ladningen fra 0 til Q. Med Q = V C kan dette også skrives W = CV^{2}/2. Det betyr at spenningen som skal til for å lagre energien 3.89 J i en kondensator med kapasitans 0.80 mF er

V = \sqrt{\frac{2W}{C}} = \sqrt{\frac{2 · 3.89}{0.80 · 10^{−3}}} = 98.6 V

Oppgave 3

1. Hele området mellom r = a og r = b kan oppfattes som en seriekobling av motstander dR som er tynne kuleskall med radius r og tykkelse dr:

dR = \frac{ρ dr}{4πr^{2}}

Hele motstanden finner vi ved å legge sammen enkeltmotstandene, dvs ved å integrere fra r = a til r = b:

R = ∫ dR
= ∫_{a}^{b} \frac{ρ dr}{4πr^{2}}
= \frac{ρ}{4π} |_{a}^{b} (−\frac{1}{r})
= \frac{ρ}{4π} (\frac{1}{a} − \frac{1}{b})

2. Det oppgitte uttrykket for strømstyrken I viser at vi her kan bruke Gauss’ lov for det elektriske feltet til å bestemme I:

I = \frac{1}{ρ} · \frac{Q}{ε_{0}}

Vi må her forutsette at ladningen som kommer inn på den innerste lederen fordeler seg jevnt over kuleflaten ved r = a før den starter sin vandring gjennom materialet mellom r = a og r = b.

Potensialforskjellen mellom indre og ytre lederskall bestemmes enkelt ettersom vi kjenner feltet E:

ΔV = V_{a} − V_{b}
= − ∫_{b}^{a} E(r) dr
= \frac{Q}{4πε_{0}} |_{b}^{a} \frac{1}{r}
= \frac{Q}{4πε_{0}} (\frac{1}{a} − \frac{1}{b})

Av disse uttrykkene følger motstanden

R = \frac{ΔV}{I} = \frac{ρ}{4π} (\frac{1}{a} − \frac{1}{b})