Institutt for fysikk, NTNU TFY4150/FY1303/SIF4012/MNFFY103 Elektrisitet og magnetisme Høst 2003

Løsningsforslag til øving 3

Veiledning mandag 1. september

Oppgave 1 Kommentar: Disse skissene er bare kvalitative, ikke kvantitative. Legg spesielt merke til at langt unna (dvs, de fire i høyre kolonne) ser alt ut som en punktladning. På nært hold kan en som regel benytte symmetribetraktninger kombinert med det en vet om feltet i umiddelbar nærhet av eventuelle punktladninger til å tegne opp et temmelig korrekt bilde av feltlinjene.

Oppgave 2

Vi finner potensialet fra de to ladningene ved å legge sammen bidraget fra hver av dem (husk: superposisjonsprinsippet gjelder også for V):

V = \frac{q}{4πε_{0}r_{1}} + \frac{(−q)}{4πε_{0}r_{2}} = \frac{q}{4πε_{0}} (\frac{1}{r_{1}} − \frac{1}{r_{2}} )

Problemet er dermed redusert til å uttrykke 1/r_{1} − 1/r_{2} ved hjelp av r og θ. Den kjappe (og enkleste) løsningen er som følger:

\frac{1}{r_{1}} − \frac{1}{r_{2}} = \frac{r_{2} − r_{1}}{r_{1}r_{2}} ≃ \frac{a cos θ}{r_{1}r_{2}} ≃ \frac{a cos θ}{r^{2}}

der vi har benyttet at r_{2} − r_{1} ≃ a cos θ (se figur) og r_{1}r_{2} ≃ r^{2}.

Vi kan alternativt gå litt saktere fram: Fra figuren ser vi at

r_{1} ≃ r − \frac{a}{2} cos θ
r_{2} ≃ r + \frac{a}{2} cos θ

Når r ≫ a kan vi rekkeutvikle både 1/r_{1} og 1/r_{2} omkring 1/r og får:

\frac{1}{r_{1}} − \frac{1}{r_{2}} ≃ \frac{1}{r − \frac{a}{2} cos θ} − \frac{1}{r + \frac{a}{2} cos θ}

= \frac{1}{r} [(1 − \frac{a cos θ}{2r} )^{−1} − (1 + \frac{a cos θ}{2r} )^{−1}]

≃ \frac{1}{r} [1 + \frac{a cos θ}{2r} − 1 + \frac{a cos θ}{2r} ]
= \frac{a cos θ}{r^{2}}

Videre har vi

qa cos θ = p cos θ = p · r̂ = \frac{p · r}{r}

slik at potensialet blir

V (r, θ) = \frac{p cos θ}{4πε_{0}r^{2}} = \frac{p · r}{4πε_{0}r^{3}}

som vi skulle vise. Legg merke til at potensialet fra en elektrisk dipol “går som” 1/r^{2} for store avstander r. Altså faller det raskere mot null enn potensialet fra en elektrisk “monopol”, dvs en punktladning, som faller av som 1/r.

Oppgave 3

a) A (faktaspørsmål; se lærebok/forelesningsnotater)

b) E. Ett elektron har ladning e = 1.6 · 10^{−19} C. For å produsere en ladning på 125 μC trengs derfor 125 · 10^{−6}/1.6 · 10^{−19} ≃ 7.81 · 10^{14} elektroner.

c) C. Coulombs lov gir kraften

F = \frac{qq′}{4πε_{0}r^{2}} = 9 · 10^{9} · \frac{94.0 · 10^{−9} · 53.0 · 10^{−9}}{0.012^{2}} N ≃ 0.311 N = 311 mN

d) C. Nettokraften på q er vektorsummen av kreftene fra +Q og −Q. (Se oppgave 1, øving 1.)

e) B. Coulombkraften er omvendt proporsjonal med kvadratet av avstanden mellom ladningene. Dersom avstanden reduseres til 90% av opprinnelig avstand, reduseres kvadratet av avstanden til 81% av opprinnelig verdi. Altså økes kraften med en faktor 1/0.81 ≃ 1.23.

f) D. Sammenhengen mellom kraft F, ladning q og elektrisk felt E er F = qE. For elektronet er q = −e, slik at den elektriske kraften blir motsatt rettet det elektriske feltet. Det at elektronet beveger seg vestover har ingen betydning for kraften fra det elektriske feltet. g) B. En rask titt på svaralternativene viser at det her er nok å bestemme størrelsesorden til det elektriske feltet. Feltbidraget fra hver av de tre ladningene er omtrentlig like stort i det angitte punktet, med noe større bidrag fra den midterste ladningen. Bidraget fra den midterste ladningen er

\frac{q}{4πε_{0}r^{2}} = 9 · 10^{9} · \frac{1}{9} · 10^{−9} · \frac{1}{4^{2}} N/C = \frac{1}{16} N/C ≃ 63 mN/C

Uten ytterligere regning kan vi fastslå at det totale feltet må være endel større enn dette, men av samme størrelsesorden. Bare 127 mN/C kan stemme.

Oppgave 4

a) A. Potensialet fra en punktladning er

\frac{q}{4πε_{0}a}

i avstand a fra punktladningen. Siden superposisjonsprinsippet gjelder for V, og begge ladningene ligger i avstand a fra punktet P, blir V dobbelt så stor som uttrykket over. Husk endelig at potensialet er en skalar. Glemmer en det, er det fort gjort å ende opp med alternativ C...

b) D. Ettersom elektrisk potensial er definert som potensiell energi pr ladningsenhet, bestemmes ladningens potensielle energi simpelthen ved å multiplisere potensialet i foregående punkt med −q. Det er vel rimelig at svaret blir negativt: De to positive ladningene tiltrekker seg den negative ladningen, slik at den potensielle energien må bli lavere enn den var med den negative ladningen uendelig langt borte. (Sammenlign en masse m som tiltrekkes av jorda med masse M. Den potensielle energien minker når m nærmer seg bakken.)

c) B. I utgangspunktet, med alle ladninger uendelig langt fra hverandre, har systemet null potensiell energi. Den totale endringen blir dermed lik den totale potensielle energien når ladningene sitter i hvert sitt hjørne:

U = \frac{q^{2}}{4πε_{0}a} − 2 · \frac{q^{2}}{4πε_{0}a} = −\frac{q^{2}}{4πε_{0}a}

Her tilsvarer det første leddet den frastøtende vekselvirkningen mellom q og q, mens det siste leddet tilsvarer den tiltrekkende vekselvirkningen mellom −q og de to positive ladningene.