Institutt for fysikk, NTNU TFY4150/FY1303/SIF4012/MNFFY103: Elektrisitet og magnetisme Høst 2003

Øving 12

Veiledning: Mandag 3. november Innleveringsfrist: Torsdag 6. november kl. 1200

Oppgave 1

Partikler med masse m, ladning q og hastighet v kommer inn i et område med “krysset” elektrisk og magnetisk felt, E og B, som vist i figuren. E har retning nedover, B har retning inn i papirplanet. I området med utstrekning L antar vi at feltene er homogene. Utenfor dette området er E = B = 0.

Du holder den elektriske feltstyrken E konstant gjennom hele eksperimentet. Først setter du B = 0 og registrerer at partiklene avbøyes og treffer detektoren i en avstand y ovenfor senterlinjen (som er stiplet). Deretter gjentar du forsøket, men nå justerer du verdien av B inntil partiklene ikke bøyes av. Vis at du nå er i stand til å bestemme forholdet mellom partiklenes ladning og masse:

\frac{q}{m} = −\frac{yE}{B^{2} (DL + \frac{1}{2}L^{2})}

Hvis retningen på avbøyningen er som i figuren, har partiklene da positiv eller negativ ladning? Begrunn svaret.

Oppgitt: F = q (E + v × B) (Lorentzkraften)

På denne måten analyserte J. J. Thomson i 1897 såkalte katodestråler og påviste at disse bestod av en bestemt type partikler med negativ ladning. Dette er nettopp elektroner som emitteres fra metallet i katoden. Thomson var altså den første som bestemte forholdet e/m_{e}. Thomson fant det samme forholdet uavhengig av hva slags metall han brukte i katoden og kunne konkludere med at de observerte partiklene måtte være en fundamental ingrediens i naturen.

Oppgave 2

Figuren viser et massespektrometer. En ionekilde emitterer ladete partikler. Åpningene S_{1} og S_{2} sørger for at en godt samlet (kollimert) partikkelstråle kommer inn i området med magnetfelt B (som har retning ut av papirplanet). Mellom S_{1} og S_{2} har vi et spenningsfall V som akselererer ionene. Hastigheten ved S_{2} er mye større enn ved S_{1}, slik at vi kan sette v = 0 ved S_{1}. Ionene bøyes i alt 180^{∘} av magnetfeltet og detekteres på en fotografisk plate P. Spektrometeret skal brukes til å separere de tre karbonisotopene ^{12}C, ^{13}C og ^{14}C. Kilden sender ut disse isotopene i form av ioner med ladning +e. Isotopene har atommasser henholdsvis 12, 13 og 14.

a) På den fotografiske platen ønskes isotopenes treffpunkt adskilt med en avstand a = 2.0 cm. Bestem de tre baneradiene r_{12}, r_{13} og r_{14} og den tilhørende styrken på magnetfeltet når akselerasjonsspenningen V er 1 kV.

[Svar: 25.5 cm, 26.5 cm, 27.5 cm, 62 mT]

b) I praksis vil ionene alltid ha en viss spredning ΔW omkring middelverdien av energien. Skriv denne spredningen på formen ΔW = qΔV og vis at den resulterende spredningen i treffpunktet for ioner med baneradius r blir tilnærmet lik

Δa = r\frac{ΔV}{V}

Tips: En usikkerhet Δx i en parameter x fører til en usikkerhet Δf ≃ (∂f/∂x)Δx i størrelsen f når denne avhenger av x. Her er det antatt at usikkerhetene er små. Bruk dette til å finne hvordan ΔV påvirker Δr, og dermed Δa.

Oppgitt: e = 1.6 · 10^{−19} C, m_{p} = 1.67 · 10^{−27} kg

(Spredningen i treffpunktet vil også påvirkes av at ionene kommer inn i magnetfeltet med en spredning i både retning og horisontal posisjon. Disse effektene ser vi for enkelhets skyld bort fra her.)

Oppgave 3

Ei sirkulær strømsløyfe med radius R fører en elektrisk strøm I. Strømsløyfa ligger i xyplanet med sentrum i origo. Retningen på I er mot klokka hvis vi har positiv z-akse ut av papirplanet. Vi skal i denne oppgaven bestemme det resulterende magnetfeltet B(0, 0, z) = B(z) på symmetriaksen til strømsløyfa (dvs på z-aksen).

a) Hvorfor er x- og y-komponenten av B(z) lik null?

b) I hvilken retning peker B(z) for positive og negative verdier av z?

c) Bruk Biot–Savarts lov,

dB = \frac{μ_{0}}{4π} \frac{Idl × r̂}{r^{2}} (= \frac{μ_{0}}{4π} \frac{Idl × r}{r^{3}} )

til å vise at

B(z) = \frac{μ_{0}IR^{2}}{2 (z^{2} + R^{2})^{3/2}}

d) Bestem B(z) i stor avstand fra strømsløyfa (dvs: til ledende orden når z ≫ R) og uttrykk svaret ved hjelp av sløyfas magnetiske dipolmoment m = |m|. Magnetisk dipolmoment m for ei plan, lukket strømsløyfe som omslutter et areal A er pr definisjon

m = IA = IA n̂

der n̂ er enhetsvektoren normalt til den plane omsluttede flaten. Magnetisk dipolmoment er altså en vektor (på samme måte som elektrisk dipolmoment p). Positiv retning på m er definert ved hjelp av høyrehåndsregelen: Fire fingre i strømmens retning gir tommelen i samme retning som m.

Kommentarer: Merk at ulike lærebøker bruker litt ulik notasjon her: Noen kaller det “magnetisk dipolmoment”, andre bare “magnetisk moment”. Noen bruker symbolet μ, andre bruker m. Uansett, det er samme fysiske størrelse det dreier seg om! Vi velger å bruke symbolet m og kaller det magnetisk dipolmoment, i tråd med f.eks. den norske boka (LHL) og Griffiths.

Det er kanskje også på sin plass å nevne at både elektrisk og magnetisk dipolmoment har en mer generell definisjon enn det vi bruker i dette kurset. (Verden består jo tross alt ikke bare av parvise punktladninger med motsatt fortegn og plane strømsløyfer...!) Har vi en romladningstetthet ρ(r), er elektrisk dipolmoment p pr definisjon

p = ∫ rρ(r) d^{3}r

Og har vi en strømfordeling gitt ved strømtettheten j(r), er magnetisk dipolmoment m pr definisjon

m = \frac{1}{2} ∫ r × j(r) d^{3}r

Her går integralet over “hele rommet”, dvs der henholdsvis ρ og j er forskjellig fra null. For spesialtilfellene som vi ser på i dette kurset, nemlig parvise punktladninger ±q i innbyrdes avstand beskrevet ved vektoren d, og plane strømsløyfer med stasjonær strøm I som omslutter et areal beskrevet ved vektoren (noen ganger kalt “vektorarealet”) A = A n̂, reduserer disse generelle definisjonene seg nettopp til

p = qd

og

m = IA

NB: De generelle definisjonene av p og m er ikke pensum i dette kurset!