Institutt for fysikk, NTNU TFY4150/FY1303/SIF4012/MNFFY103: Elektrisitet og magnetisme Høst 2003

Øving 13

Veiledning: Mandag 10. november Innleveringsfrist: Torsdag 13. november kl. 1200

Oppgave 1

I forelesningene viste vi at atomer kan oppfattes som små strømsløyfer, dvs som små magnetiske dipoler med magnetisk dipolmoment m = IA der strømmen I går i en bane som omslutter et (plant) areal A. (“Vektorarealet” er da A = A n̂, der n̂ er en enhetsvektor normalt til den omsluttede flaten, med positiv retning bestemt ved høyrehåndsregelen.) Her skal vi bruke ei kvadratisk strømsløyfe som modell for en slik atomær magnetisk dipol og se nærmere på hvordan den vil oppføre seg i et magnetfelt B. (Vi kunne også ha brukt ei sirkulær strømsløyfe, men den kvadratiske er litt enklere å regne på.) Strømsløyfa har sidekanter med lengde a og fører altså en strøm I. Den er plassert i et homogent magnetfelt B = B ẑ og kan rotere fritt omkring y-aksen, som her går gjennom strømsløyfas sentrum som vist i figuren:

Orienteringen av strømsløyfa er definert ved vinkelen θ mellom z-aksen og flatenormalen n̂. (Positiv θ med klokka, som vist i figuren.)

a) Hva blir strømsløyfas magnetiske dipolmoment m? Hva blir den totale kraften fra B på strømsløyfa?

b) Beregn dreiemomentet τ på sløyfa omkring y-aksen og vis at det kan uttrykkes på formen τ = m × B.

[Tips: Finn kraften på hver av de fire rette lederstykkene og bruk at dreiemoment = “arm ganger kraft”.]

c) Bestem den potensielle energien U(θ) til en slik magnetisk dipol i feltet B. Skisser U(θ). Hva slags orientering av dipolen i forhold til B representerer henholdsvis en stabil og en ustabil likevekt?

d) I jern har hvert atom et magnetisk dipolmoment m_{Fe} som dannes av to parallelle elektronspinn, slik at m_{Fe} = 2μ_{B}. Her er μ_{B} = eh̄/2m_{e} det magnetiske dipolmomentet for ett elektronspinn, det såkalte Bohr-magnetonet, med verdi 9.27 · 10^{−24} Am^{2}. Hva blir da den maksimale tettheten av magnetisk dipolmoment (dvs: magnetisk dipolmoment pr volumenhet) i jern? [Kommentar: Magnetisk dipolmoment pr volumenhet er, pr definisjon, hva vi skal kalle magnetisering. I elektrostatikken innførte vi polarisering, som pr definisjon er elektrisk dipolmoment pr volumenhet. Mer om magnetisme og magnetisering i forelesningene!]

Oppgitt: Molar masse, jern: 55.9 g/mol. Massetetthet, jern: 7.9 g/cm^{3}. 1 mol = 6.02 · 10^{23}.

Oppgave 2

I forelesningene brukte vi Amperes lov (på integralform) til å bestemme magnetfeltet B(r) fra en rett, uendelig lang strømførende leder med radius R og med strømmen I_{0} jevnt fordelt over lederens tverrsnitt:

B(r) = \{ \begin{matrix}(μ_{0}I_{0}r/2πR^{2})ϕ̂ & r < R \\ (μ_{0}I_{0}/2πr)ϕ̂ & r > R \end{matrix}

Her er r avstanden fra sentrum av lederen og ϕ̂ er enhetsvektoren normalt på r̂, tangentielt til en sirkulær bane konsentrisk omkring strømlederen.

La lederen ligge langs z-aksen slik at strømmen I_{0} går i positiv z-retning. Beregn curl til magnetfeltet, dvs ∇ × B, og vis at Amperes lov på differensialform,

∇ × B = μ_{0}j,

gir nettopp den strømtettheten j som vi startet med da vi beregnet B. Du kan velge om du vil bruke kartesiske koordinater (x, y, z) eller sylinderkoordinater (r, ϕ, z).

Oppgitt: I sylinderkoordinater er ∇ × B en vektor med komponenter

(∇ × B)_{r} = \frac{1}{r} \frac{∂B_{z}}{∂ϕ} − \frac{∂B_{ϕ}}{∂z}
(∇ × B)_{ϕ} = \frac{∂B_{r}}{∂z} − \frac{∂B_{z}}{∂r}
(∇ × B)_{z} = \frac{1}{r} \frac{∂(rB_{ϕ})}{∂r} − \frac{1}{r} \frac{∂B_{r}}{∂ϕ}

langs henholdsvis r̂, ϕ̂ og ẑ. Curl-operatoren i kartesiske koordinater husker du kanskje? Hvis ikke finner du den i Rottmann.

Oppgave 3

Bruk Gauss’ lov for magnetfeltet B på differensialform,

∇ · B = 0,

til å avgjøre hvilket magnetfelt, a) eller b), som er fysisk mulig og hvilket som ikke er det. For det fysisk mulige B-feltet, bestem tilhørende strømtetthet j ved hjelp av Amperes lov på differensialform (se oppgave 2). Visualiser strømtettheten på x-aksen ved hjelp av “strømlinjer” for j.

a) B = k (x x̂ + y ŷ + z ẑ)

b) B = k (xy x̂ − xy ŷ + z(x − y) ẑ)

Oppgave 4

Vis, ved hjelp av Amperes lov (på integralform), at magnetfeltet B fra en uniform “overflatestrøm” i = i ŷ som “flyter” i (hele) xy-planet i positiv y-retning er

B = \{ \begin{matrix}−(μ_{0}i/2) x̂ & for z < 0 \\ +(μ_{0}i/2) x̂ & for z > 0 \end{matrix}

(Altså uavhengig av avstanden til xy-planet, jfr elektrisk felt fra uendelig stort uniformt ladet plan.) Her er i strømmen pr lengdeenhet av x-retningen. Med andre ord, på en “stripe” med bredde Δx går det en strøm ΔI = i · Δx.

Tips:

• Det er altså oppgitt at både y- og z-komponenten av B er lik null. Bruk gjerne likevel litt tid på å overbevise deg om at sånn må det være. En slik “kartlegging” av symmetrien i problemet er helt essensiell for å kunne dra nytte av Amperes lov. Som regel må en da et lite øyeblikk tilbake til Biot-Savarts lov og vurdere konsekvensene av at “strømelementer” I dl gir bidrag dB ∼ I dl × r̂ til det totale magnetfeltet.

• Hvis du etterhvert greier å overbevise deg om at en rektangulær Amperekurve med flatenormal i strømmens retning er et fornuftig valg, ja da er du antagelig på rett spor!