Institutt for fysikk, NTNU TFY4150/FY1303/SIF4012/MNFFY103: Elektrisitet og magnetisme Høst 2003

Øving 2

Veiledning: Mandag 25. august Innleveringsfrist: Torsdag 28. august

Oppgave 1

En tynn stav med lengde L har en uniform ladning λ pr lengdeenhet.

a) Hvor mye ladning dq er det på en liten bit dx av staven? Hva er stavens totale ladning Q?

b) Vis at det elektriske feltet i et punkt P i en avstand R fra staven er gitt ved E = E_{x}x̂ + E_{y}ŷ, med

E_{x} = \frac{λ}{4πε_{0}R}(cos θ_{1} − cos θ_{2})
E_{y} = \frac{λ}{4πε_{0}R}(sin θ_{1} − sin θ_{2})

Her er θ_{1} og θ_{2} vinklene som dannes mellom linjene fra P til stavens endepunkter og normalen til staven gjennom P, som vist i figuren. (Fortegnet til vinklene er som indikert i figuren, dvs θ_{2} er negativ). [Tips: Feltet dE fra en liten bit dx av staven er dE = (λ dx/4πε_{0}r^{2})r̂, der r er avstandsvektoren fra dx til punktet P. Prøv deretter å ende opp med θ som integrasjonsvariabel ved å finne sammenhengen mellom x og θ.] Hva blir da det elektriske feltet i avstand R fra en uendelig lang uniformt ladet stav?

c) Bestem feltet i følgende to spesialtilfeller: 1. P er like langt fra stavens to ender, og 2. P er en avstand R fra stavens venstre ende. For begge disse spesialtilfellene, bestem E når P er langt unna staven (dvs R ≫ L). NB: Her er vi ikke ute etter (det i og for seg korrekte) svaret E ≃ 0 for R → ∞, men derimot hvordan E avhenger av R “til ledende orden” for R ≫ L. Et stikkord her er rekkeutvikling (Matematikk 1), og du vil antagelig få bruk for at (1 + α)^{±1/2} ≃ 1 ± α/2 når α ≪ 1. Er svarene som forventet?

Oppgave 2

Ei sirkelformet skive med radius R_{0} har uniform flateladning (dvs: ladning pr flateenhet) σ.

a) Hvor mye ladning dq er det på en tynn ring av skiva, med radius R og bredde dR? Hva er skivas totale ladning Q?

b) Finn den elektriske feltstyrken E i et punkt P på symmetriaksen i en avstand a fra skiva. (Tips: Finn først feltet dE i P fra en tynn ring med radius R og bredde dR, og integrer deretter fra R = 0 til R = R_{0}.)

c) Hva blir E (igjen: til ledende orden, jfr Oppg 1c) i de to tilfellene a ≫ R_{0} og a ≪ R_{0}? (Du drar kanskje kjensel på svaret i tilfellet a ≫ R_{0}? Tenk dessuten på hva det andre tilfellet, a ≪ R_{0}, innebærer. Det vil dukke opp mange ganger senere i kurset.)

Fasitsvar: Oppgave 2b: E = \frac{σ}{2ε_{0}} (1 − _{\frac{a}{\sqrt{a^{2}+R_{0}^{2}}}} )