Institutt for fysikk, NTNU TFY4150/FY1303/SIF4012/MNFFY103: Elektrisitet og magnetisme Høst 2003

Øving 4

Veiledning: Mandag 8. september Innleveringsfrist: Torsdag 11. september kl. 1200

Oppgave 1

I oppgave 2 i øving 3 betraktet vi en elektrisk dipol, bestående av to punktladninger ±q lokalisert på z-aksen i z = ±a/2. Vi viste at potensialet V i stor avstand (r ≫ a) fra dipolen er tilnærmet lik

V (r, θ) = \frac{p cos θ}{4πε_{0}r^{2}}

Her er r avstanden fra origo, dvs dipolens midtpunkt, θ er vinkelen mellom z-aksen og r, og p = |p| = qa er dipolens elektriske dipolmoment.

a) Ta utgangspunkt i uttrykket for V (r, θ) og bestem det elektriske feltet E(r, θ) = E_{r}r̂ + E_{θ}θ̂ i stor avstand fra dipolen. Det oppgis at gradientoperatoren i kulekoordinater er

∇ = r̂\frac{∂}{∂r} + θ̂\frac{1}{r} \frac{∂}{∂θ} + ϕ̂\frac{1}{r sin θ} \frac{∂}{∂ϕ}

[Fasit: E_{r} = p cos θ/2πε_{0}r^{3}, E_{θ} = p sin θ/4πε_{0}r^{3}.] Kontroller om resultatet virker rimelig for θ = 0 og for θ = π/2. Hva med r = 0?

b) På grunn av rotasjonssymmetrien omkring z-aksen kan vi f.eks. anta at vi befinner oss i xz-planet. Bestem det elektriske feltet E(x, z) = E_{x}x̂+E_{z}ẑ uttrykt i kartesiske koordinater for r ≫ a. Tips: Ta utgangspunkt i uttrykkene for E_{r} og E_{θ} i punkt a). Tegn opp en figur og finn sammenhengen mellom koordinatene (x, z) og (r, θ), og feltkomponentene E_{x}, E_{z} og E_{r}, E_{θ}. [Fasit: E_{x} = 3pxz/4πε_{0}(x^{2} + z^{2})^{5/2}, E_{z} = p(2z^{2} − x^{2})/4πε_{0}(x^{2} + z^{2})^{5/2}.]

c) Bestem også E(x, z) ved først å skrive om V (r, θ) til V (x, z), og deretter anvende gradientoperatoren i kartesiske koordinater.

Oppgave 2 I kartesiske koordinater er et infinitesimalt (differensielt) linjeelement (veielement) gitt ved dl = dx x̂ + dy ŷ + dz ẑ. Et infinitesimalt flateelement dA er dy dz x̂, dx dz ŷ og dx dy ẑ når flatenormalen peker i henholdsvis x-, y- og z-retning. Et infinitesimalt volumelement er dV = dx dy dz.

a) Vis at i kulekoordinater (r, θ, ϕ) er de tilsvarende størrelser

dl = dr r̂ + r dθ θ̂ + r sin θ dϕ ϕ̂
dA_{r} = r^{2} sin θ dθ dϕ r̂
dA_{θ} = r dr sin θ dϕ θ̂
dA_{ϕ} = r dr dθ ϕ̂
dV = r^{2} dr sin θ dθ dϕ

Tips: Tegn opp et infinitesimalt volumelement som avgrenses av flatene r og r +dr, θ og θ +dθ, ϕ og ϕ + dϕ. (Se figur i ukentlig sammendrag, uke 34. NB: I denne figuren er de tre ortogonale enhetsvektorene r̂, θ̂ og ϕ̂ “flyttet” vekk fra det aktuelle volumelementet. Hensikten var å unngå en altfor rotete figur, men resultatet er kanskje misvisende: Disse tre enhetsvektorene er ikke faste vektorer i rommet, de er avhengige av hvor i rommet vi er, og endrer retning ettersom vi flytter oss rundt. Eksempel: I et punkt på y-aksen (y > 0) er r̂ = ŷ mens i et punkt på z-aksen (z > 0), derimot, er r̂ = ẑ.)

b) Vis på grunnlag av formlene over at ei kule med radius R har volum 4πR^{3}/3 og overflateareal 4πR^{2}. Kommentar: Omkretsen av en sirkel med radius R er 2πR. Sirkelen utspenner en vinkel på 2π (radianer). Disse resultatene kommer vi fram til ved å starte med et infinitesimalt bueelement dl = R dθ og integrere fra 0 til 2π. Tilsvarende har en kuleflate med radius R et areal 4πR^{2}. Kuleflaten utspenner en romvinkel på 4π (steradianer). Her er utgangspunktet et infinitesimalt flateelement dA_{R} = R^{2} dΩ, der dΩ = sin θ dθ dϕ er et infinitesimalt romvinkelelement. Integrasjon over θ og ϕ gir deretter kuleflatens totale areal A, evt. totale romvinkel Ω. Vi kommer straks tilbake til dette i forelesningene, i forbindelse med Gauss lov.

Oppgave 3 (multiple choice) (Antatt tidsforbruk: ca 10 min. + evt. tid til å bla i lærebok eller notater.)

Noe av dette (dvs ikke alt!) vil du få bruk for nedenfor: 1/4πε_{0} = 9·10^{9} Nm^{2}/C^{2}, e = 1.6·10^{−19} C, m_{e} = 9.11 · 10^{−31} kg, m_{p} = 1.67 · 10^{−27} kg

a) Potensialforskjellen mellom katoden og skjermen i et TV-apparat er 25 kV. Dersom vi antar at et elektron forlater katoden med null hastighet, hvor stor er da hastigheten umiddelbart før det treffer skjermen?

A 4.2 · 10^{15} m/s
B 8.8 · 10^{15} m/s
C 3.8 · 10^{7} m/s
D 6.6 · 10^{7} m/s
E 9.4 · 10^{7} m/s

b) En berylliumkjerne med ladning 4e og masse 9m_{p} og en α-partikkel (dvs en heliumkjerne) med ladning 2e og masse 4m_{p} er i ro. De to partiklene kan gis like stor kinetisk energi ved å

A akselerere dem gjennom en like stor potensialforskjell.
B akselerere α-partikkelen gjennom V volt og berylliumkjernen gjennom V/2 volt.
C akselerere α-partikkelen gjennom V volt og berylliumkjernen gjennom 9V/8 volt.
D akselerere α-partikkelen gjennom V volt og berylliumkjernen gjennom 9V/4 volt.
E akselerere α-partikkelen gjennom V volt og berylliumkjernen gjennom 9V/2 volt.

Figuren illustrerer et uniformt elektrisk felt E.

c) Hvilke punkter i figuren er på samme potensial?

A 2 og 5
B 2, 3 og 4
C 1 og 4
D 1 og 5
E 2 og 4

d) Hvilket punkt i figuren er på høyest potensial?

A 1
B 2
C 3
D 4
E 5

e) Hvilket punkt i figuren er på lavest potensial?

A 1
B 2
C 3
D 4
E 5