Institutt for fysikk, NTNU TFY4150/FY1303/SIF4012/MNFFY103: Elektrisitet og magnetisme Høst 2003

Øving 5

Veiledning: Mandag 15. september Innleveringsfrist: Torsdag 18. september kl. 1200

Oppgave 1

Figuren over viser en Gaussflate (dvs lukket flate) S formet som en kube med sidekanter a. Flaten er plassert i et område hvor det er en elektrisk feltstyrke E. I hvert av tilfellene a) – d), bestem total (netto) elektrisk fluks ϕ_{E} som passerer gjennom flaten S. Bruk Gauss’ lov og bestem i hvert tilfelle også den totale ladningen Q innenfor S.

a) E = Cx̂
b) E = Cxx̂
c) E = Cx^{2}x̂
d) E = C (yx̂ + xŷ)

Her er C en (skalar) konstant (med varierende enhet).

e) For tilfellet c) skal du nå bestemme ladningstettheten ρ innenfor S. Dette skal du gjøre på to måter og til slutt kontrollere at svaret blir det samme. Ta først utgangspunkt i Gauss’ lov på integralform idet du betrakter et lite (infinitesimalt) volumelement a^{2} dx, dvs en tynn skive med tykkelse dx og endeflater med areal a^{2}, lokalisert mellom x og x + dx. (Mer presist: Bruk Gauss’ lov på flaten som omslutter dette volumelementet.) Bestem deretter ρ ved å benytte Gauss’ lov på differensialform.

Noen svar: b): Q = Cε_{0}a^{3}  c): Q = Cε_{0}a^{4}  e): ρ = 2Cε_{0}x

Oppgave 2

Et kuleskall med indre radius a og ytre radius b har en (rom-)ladningstetthet ρ(r) = k/r^{2} i området a < r < b. (k er en konstant) Forøvrig er ρ = 0. Bruk Gauss’ lov (på integralform) til å bestemme det elektriske feltet overalt (dvs, for r < a, a < r < b og r > b). Skisser E som funksjon av r når b = 2a.

Oppgave 3

Bruk Gauss’ lov til å vise at det elektriske feltet i avstand r fra en uendelig lang (tynn) stav med ladning λ pr lengdeenhet er

E(r) = \frac{λ}{2πε_{0}r}

Tips: Utnytt sylindersymmetrien i problemet til å velge en fornuftig Gaussflate. Sammenlign dette med feltet fra en stav med endelig lengde (Øving 2, oppgave 1) og kontroller at svaret blir det samme når vi lar stavens lengde bli stor i forhold til avstanden r.

Oppgave 4 (multiple choice) (Antatt tidsforbruk: ca 10 min. + evt. tid til å bla i lærebok eller notater.)

Noe av dette kan du få bruk for nedenfor: 1/4πε_{0} = 9 · 10^{9} Nm^{2}/C^{2}, e = 1.6 · 10^{−19} C, m_{e} = 9.11 · 10^{−31} kg, m_{p} = 1.67 · 10^{−27} kg

a) På en lukket flate er det elektriske feltet E overalt rettet innover. Da kan vi fastslå at

A flatenormalen n̂ over hele flaten er parallell med E
B flatenormalen n̂ over hele flaten er normal til E
C flaten omslutter null netto ladning
D flaten omslutter en netto negativ ladning
E flaten omslutter en netto positiv ladning

b) Figuren illustrerer en lukket flate som omslutter to punktladninger q og −q. Netto elektrisk fluks ut gjennom denne flaten er da

A null
B −q/ε_{0}
C q/ε_{0}
D −2q/ε_{0}
E 2q/ε_{0}

c) Figuren illustrerer en lukket flate som omslutter to punktladninger −2q og q. Netto elektrisk fluks ut gjennom denne flaten er da

A null
B −q/ε_{0}
C q/ε_{0}
D −2q/ε_{0}
E 2q/ε_{0}

d) Hvor stor er radien til en (kuleformet) ekvipotensialflate på 50 V omkring en punktladning 10 nC? Null potensial velges uendelig langt unna.

A 1.3 m
B 1.8 m
C 3.2 m
D 5.0 m
E 8.1 m

e) Potensialet i et område er V (x, y, z) = 100 V. Det elektriske feltet i dette området er da

A (100 V/m) x̂
B (100 V/m) ŷ
C (100 V/m) ẑ
D 100 V/m
E null

Kontroller selv: Stemningen på ∇–kjelleren var høy men begynte etterhvert å litt av.