Institutt for fysikk, NTNU TFY4150/FY1303/SIF4012/MNFFY103: Elektrisitet og magnetisme Høst 2003

Sammendrag, uke 34 (21. og 22. august)

Elektrisk felt fra punktladning [AF 21.6; LHL 19.5; G 2.1.3]

E = \frac{q}{4πε_{0}r^{2}} r̂

Superposisjonsprinsipp for elektrisk felt:

E = ∑_{j=1}^{n} E_{j} = \frac{1}{4πε_{0}} ∑_{j=1}^{n} \frac{q_{j}}{r_{j}^{2}} r̂_{j}

Kvantisering av ladning [AF 21.7; LHL 19.1; G s. xiv]

q = ne n = 0, ±1, ±2, …
e ≃ 1.6 × 10^{−19} C

e = elementærladningen

Ladning til elektron: −e  proton: e  nøytron: 0

Bevaringslov for elektrisk ladning [AF 21.8; LHL 19.1; G s. xiv] Total ladning i et lukket system er alltid bevart

Kontinuerlige ladningsfordelinger [AF eks. 21.6; LHL 19.5; G 2.1.4]

På en lengdeskala som er stor i forhold til avstanden mellom enkeltladninger ser man en tilnærmet kontinuerlig ladningsfordeling. (På samme måte som at makroskopiske objekter har en tilnærmet kontinuerlig massefordeling, selv om de egentlig består av “enkeltmasser” (atomer).)

Sum over enkeltladninger erstattes da av integral over en ladningsfordeling:

∑_{i} Δq_{i} →^{Δq_{i}→0} ∫ dq

3D (= 3 dimensjoner): romladning

dq = ρ dV
ρ = ρ(x, y, z) = ladning pr volumenhet = romladningstetthet
[ρ] = [q/V] = C/m^{3}
Volumelement : dV = dx dy dz (kartesiske koordinater)
= r^{2} sin θ dθ dϕ dr (kulekoordinater)
= ρ dρ dϕ dz (sylinderkoordinater)

2D: flateladning

dq = σ dA
σ = σ(x, y) = ladning pr flateenhet = flateladningstetthet
[σ] = [q/A] = C/m^{2}
Flateelement : dA = dx dy (kartesiske koordinater)
= r dϕ dr (polarkoordinater)

1D: linjeladning

dq = λ dl
λ = λ(x) = ladning pr lengdeenhet = linjeladningstetthet
[λ] = [q/L] = C/m
Linjeelement : dl = dx

Elektrisk felt i avstand r fra infinitesimal ladning dq:

dE = \frac{1}{4πε_{0}} \frac{dq}{r^{2}} r̂

Elektrisk felt fra kontinuerlig ladningsfordeling:

E = \frac{1}{4πε_{0}} ∫ \frac{r̂ dq}{r^{2}} =^{3D} \frac{1}{4πε_{0}} ∫ \frac{r̂ρ dV}{r^{2}}

Mer presist: Det elektriske feltet E(r) i et punkt r = (x, y, z) på grunn av en fordeling av elektrisk ladning beskrevet ved ladningstettheten ρ(r′) = ρ(x′, y′, z′) er gitt ved

E(r) = \frac{1}{4πε_{0}} ∫ \frac{(r − r′)ρ(r′) dV′}{|r − r′|^{3}}

der dV′ = dx′ dy′ dz′ (i kartesiske koordinater) er et volumelement i posisjon r′. Legg merke til at r ikke har samme betydning i de to siste ligningene. I den første angir r vektoren fra dq til punktet der E skal bestemmes. Dermed vil r være forskjellig for de ulike ladningselementene dq i systemet vi ser på. I den andre ligningen angir r posisjonen der E skal bestemmes, mens r′ er posisjonsvariabelen til ladningstettheten ρ. Her hadde vi valget mellom å innføre en ny vektor R ≡ r − r′ og skrive R̂/R^{2}, eller (som vi valgte) å skrive om enhetsvektoren. På sin plass med en figur, kanskje:

Vi ser at den “aktuelle” enhetsvektoren skal peke fra volumelementet dV′ i posisjon r′ til posisjonen r, og kan dermed skrives (r − r′)/|r − r′|^{3}.

Elektriske feltlinjer [AF 21.6; LHL 19.6; G 2.2.1]

• gir en visuell framstilling av E i et område

• E ligger tangentielt til feltlinjene overalt

• styrken på E (dvs |E|) er proporsjonal med tettheten av feltlinjer

Konsekvenser av dette er bl.a. at

• feltlinjene går radielt ut fra positive (punkt-)ladninger og radielt inn mot negative ladninger

• like mange feltlinjer går ut fra ladning +Q som inn mot −Q