Institutt for fysikk, NTNU TFY4150/FY1303/SIF4012/MNFFY103: Elektrisitet og magnetisme Høst 2003

Sammendrag, uke 35 (28. og 29. august)

Elektrisk potensial [AF 21.9; LHL 19.9; G 2.3.1, 2.3.2, 2.4.1]

Vi har en konservativ kraft F dersom arbeidet ∫_{A}^{B} F · dl er uavhengig av veien mellom startposisjonen A og sluttposisjonen B. Eksempler på konservative krefter: Gravitasjonskraften mellom to masser. Den elektrostatiske kraften mellom to ladninger. Eksempel på ikke-konservativ kraft: Friksjon.

Mer generelt har vi et konservativt vektorfelt G dersom veiintegralet ∫_{A}^{B} G · dl er uavhengig av integrasjonsveien mellom A og B.

For et konservativt vektorfelt G gjelder:

∮ G · dl = 0

der ∮ angir integral rundt lukket kurve i rommet.

Herav følger

∇ × G = 0

Her har vi benyttet Stokes’ teorem,

∫_{S} (∇ × G) · dA = ∮_{c} G · dl

som uttrykt med ord sier at veiintegralet av en vektor G rundt en lukket kurve c er lik flateintegralet av curl til vektoren G over en flate S som “omsluttes” av kurven c. Følgende figur illustrerer de ulike størrelsene som er involvert:

Ettersom integralet på høyre side i Stokes’ teorem er null, må også integralet på venstre side være null. Det at integranden, ∇ × G, overalt er lik null, følger av at vi kan velge uendelig mange forskjellige flater S for en gitt omsluttende kurve c.

For konservativ kraft F har vi en potensiell energi U slik at arbeidet utført av F på “systemet” (f.eks. ladningen som flyttes) ved en forflytning fra A til B tilsvarer endringen i systemets potensielle energi:

ΔU = U_{B} − U_{A} = − ∫_{A}^{B} F · dl

[Fortegnssjekk: Forflytning av masse m oppover, dvs mot tyngdekraften mg, gir økt potensiell energi og samtidig F · dl < 0, altså OK!]

På samme måte som at det var hensiktsmessig å innføre elektrisk felt E = F /q = elektrisk kraft pr ladningsenhet, er det nå hensiktsmessig å innføre elektrisk potensial som potensiell energi pr ladningsenhet:

V = U/q

En ladning q som påvirkes av en elektrostatisk kraft F har en forskjell i potensiell energi

ΔU = U_{B} − U_{A} = − ∫_{A}^{B} F · dl

mellom punktene A og B. Da må den elektriske potensialforskjellen ΔV mellom punktene A og B være [AF 21.10; LHL 19.9; G 2.3.1]:

ΔV = V_{B} − V_{A} = \frac{ΔU}{q} = − ∫_{A}^{B} \frac{F · dl}{q} = − ∫_{A}^{B} E · dl

Merk: Bare forskjeller i elektrisk potensial (og potensiell energi) har fysisk betydning. Kan fritt velge nullpunkt for potensialet. Vanlig valg: V (r → ∞) = 0. Dermed, for punkt P:

V_{P} = − ∫_{∞}^{P} E · dl

Elektrisk potensial fra punktladning (Coulombpotensialet) [AF 21.11; LHL 19.9; G 2.3.4]:

V (r) = \frac{q}{4πε_{0}r}

Elektrisk potensial fra kontinuerlige ladningsfordelinger:

V (r) = \frac{1}{4πε_{0}} ∫ \frac{dq}{r}

med

dq = \{ \begin{matrix}ρ(x, y, z) dV & (3D) \\ σ(x, y) dA & (2D) \\ λ(x) dx & (1D) \end{matrix}

Enhet for elektrisk potensial: [V] = [U/q] = J/C ≡ V (volt) Alternativ enhet for elektrisk felt: [E] = [V/dl] = V/m

Hensiktsmessig energienhet: 1 elektronvolt = 1 eV = e · 1V = 1.6 · 10^{−19}C·1 J/C = 1.6 · 10^{−19} J = endringen i potensiell energi for en elementærladning som flyttes mellom to punkter med en potensialforskjell på 1 volt

Potensiell energi mellom punktladninger [AF 21.11; G 2.4.2]:

• mellom to punktladninger i innbyrdes avstand r_{12}: U_{12} = q_{1}q_{2}/4πε_{0}r_{12}

• mellom flere punktladninger: U = ∑_{i<j} U_{ij} = \frac{1}{2} ∑_{i≠j} U_{ij} (der faktoren 1/2 hindrer dobbelttelling)