Institutt for fysikk, NTNU TFY4150/FY1303/SIF4012/MNFFY103: Elektrisitet og magnetisme Høst 2003

Sammendrag, uke 36 (4. og 5. september)

Ekvipotensialflater [AF 21.11; LHL 19.11; G 2.3.2]

Ekvipotensialflater er flater i rommet med konstant potensial.

ΔV = − ∫ E · dl = 0

for vilkårlig integrasjonsvei på en ekvipotensialflate. Dermed:

E ⊥ ekvipotensialflate

Beregning av E fra V [AF 21.10; LHL 19.9; G 2.3.1, 1.2.2]

E = −∇V

Gradientoperatoren ∇:

∇V = \frac{∂V}{∂x} x̂ + \frac{∂V}{∂y} ŷ + \frac{∂V}{∂z} ẑ (kartesiske koordinater)
= \frac{∂V}{∂r} r̂ + \frac{1}{r} \frac{∂V}{∂θ} θ̂ + \frac{1}{r sin θ} \frac{∂V}{∂ϕ} ϕ̂ (kulekoordinater)

Vektoren ∇V peker i den retningen der V øker raskest, dvs i den retningen der den retningsderiverte til V er størst. Ettersom E = −∇V, betyr det at det elektriske feltet peker i den retningen der V avtar raskest.

Eksempel, kulesymmetri:

E = E(r)r̂ = −\frac{∂V}{∂r} r̂

Energibevarelse for ladete partikler i elektrisk felt [AF 21.12; LHL 19.9]

Med konservative krefter er total energi bevart:

T + U = konstant
T = \frac{1}{2}mv^{2} = kinetisk energi
U = qV = potensiell energi

Bevegelsen til en partikkel med masse m og ladning q i et elektrisk felt er bestemt av Newtons 2. lov (= bevegelsesligningen):

F = ma = m\frac{dv}{dt} = qE = −q∇V = −∇U

Vi har sett at for et konservativt kraftfelt F er arbeidet ∫_{A}^{B} F ·dl uavhengig av integrasjonsveien fra A til B. Det fulgte da at

∮ F · dl = 0 , ∇ × F = 0

Ettersom E = F /q, følger det at også det elektrostatiske feltet E er et konservativt vektorfelt. Da må E oppfylle tilsvarende ligninger:

∮ E · dl = 0 , ∇ × E = 0

Dette er en av Maxwells ligninger (for statiske, dvs ikke tidsavhengige felt). Den første er på såkalt integralform, og uttrykker at veiintegralet av E rundt en vilkårlig lukket kurve er lik null. Alternativt er innholdet i denne ligningen at det elektriske potensialet V overalt er entydig: Potensialforskjellen mellom startpunkt og sluttpunkt må forsvinne dersom start- og sluttpunkt er de samme. Den andre ligningen er på såkalt differensialform, og uttrykker at det elektrostatiske feltet overalt er “rotasjonsfritt”.

Elektrisk fluks [AF 25.3; LHL 19.7; G 2.2.1]

ϕ = ∫_{S} E · dA

Noen ganger skriver vi ϕ_{E} for å presisere at det er snakk om elektrisk fluks. Vi har tidligere definert elektriske feltlinjer slik at den elektriske feltstyrken E = |E| skulle være proporsjonal med tettheten av feltlinjer, eller antall feltlinjer pr flateenhet. Av ovenstående definisjon av elektrisk fluks ϕ kan vi da slutte at ϕ representerer antall feltlinjer som krysser flaten S. Følgende figur illustrerer hva dette går ut på:

Flaten S er en vilkårlig “tenkt” eller “valgt” flate i rommet. Det elektriske feltet “eksisterer” i området der flaten S er “plassert”. (E kan være null eller forskjellig fra null.) Flaten S tenkes så delt inn i små flateelementer dA = n̂dA, med areal dA og orientering i rommet spesifisert ved flatenormalen n̂. Fluksen dϕ gjennom flaten dA er da lik E · dA. Den totale fluksen gjennom hele flaten S får vi ved å integrere opp bidragene dϕ, altså ligningen over. Merk at fluksen er en skalar størrelse. Den kan imidlertid være positiv eller negativ, avhengig av om vinkelen mellom vektorene E og dA er mindre eller større enn 90 grader.

En lukket flate S er en flate som omslutter et veldefinert volum V, f.eks. et kuleskall, et peanøttskall e.l. Den elektriske fluksen gjennom en lukket flate skriver vi slik (jfr. notasjonen for veiintegral rundt lukket kurve):

ϕ_{c} = ∮_{S} E · dA

Indeksen c står for “closed”. Den er forsåvidt unødvendig sålenge vi skriver ned integralet. Ringen på integrasjonssymbolet er tilstrekkelig for å understreke at det er snakk om en lukket flate. Med en lukket flate kan vi gjøre unna “fortegnsproblemet” en gang for alle: Vi velger positiv retning på dA ut av flaten. Dermed kan vi konkludere med at

E · dA > 0 ⇒ fluks ut gjennom flaten E · dA < 0 ⇒ fluks inn gjennom flaten

Dessuten:

ϕ_{c} > 0 ⇒ netto fluks ut gjennom flaten ϕ_{c} < 0 ⇒ netto fluks inn gjennom flaten

For en ikke lukket flate S har vi ingen tilsvarende mulighet for å velge positiv retning på dA. Flaten har to sider, og ingen av disse kan sies å være mer “inne” eller “ute” i forhold til den andre. I enkelte tilfeller, f.eks. i forbindelse med Stokes’ teorem, har vi imidlertid valgt en positiv retning på (den lukkede!) kurven (linjen) som går rundt kanten av S. Da definerer vi positiv retning på dA ved hjelp av høyrehåndsregelen: La høyrehåndas fire øvrige fingre peke i positiv retning for flatens omsluttende kurve. Da peker tommelen i positiv retning for dA.