Institutt for fysikk, NTNU TFY4150/FY1303/SIF4012/MNFFY103: Elektrisitet og magnetisme Høst 2003

Sammendrag, uke 37 (11. og 12. september)

Gauss’ lov [AF 25.4; LHL 19.7; G 2.2.1]

Gauss’ lov på integralform:

∮_{S} E · dA = \frac{q_{in}}{ε_{0}}

Her er integralet på venstre side av ligningen et flateintegral over en lukket flate S, mens q_{in} er total (netto) ladning innenfor den lukkede flaten (“gaussflaten”). Gauss’ lov er en av Maxwells ligninger. Innholdet i ligningen kan formuleres slik: Netto antall feltlinjer ut av et volum, dvs ut gjennom den lukkede flaten som avgrenser dette volumet, er bestemt av, og direkte proporsjonal med netto ladning inne i volumet, dvs innenfor den lukkede flaten. Gauss’ lov følger direkte av Coulombs lov, og representerer således ingen ny fysikk.

I forbindelse med beviset for Gauss’ lov fikk vi bruk for det vi kalte en romvinkel Ω. På samme måte som en liten sektor i et plan utspenner en vinkel dϕ vil en liten kjegle i rommet utspenne en romvinkel dΩ. Videre: På samme måte som at buelengden dl i avstand r fra “sentrum” da blir dl = r dϕ blir arealet dA_{r} av flaten som står normalt på r og som avgrenses av den lille kjeglen da lik dA_{r} = r^{2} dΩ.

Lar vi sektoren i planet utspenne en hel omdreining, tilsvarer det en vinkel

∮ dϕ = ∫_{0}^{2π} dϕ = 2π

Tilsvarende: Lar vi kjeglen i rommet utspenne en hel kuleflate, tilsvarer det en romvinkel

∮ dΩ = ∫_{0}^{2π} dϕ ∫_{0}^{π} sin θ dθ = 4π

(Her har vi brukt kulekoordinater, der dA_{r} = r^{2} sin θ dθ dϕ (se Øving 4!), slik at dΩ = sin θ dθ dϕ.)

Gauss’ lov på differensialform [LHL 19.7; G 2.2.1]

Fra Matematikk 2 henter vi divergensteoremet:

∮_{S} G · dA = ∫_{V} ∇ · G dV

Her er S en lukket flate som omslutter volumet V, mens G representerer et vilkårlig vektorfelt. Divergens til en vektor G:

∇ · G = (x̂\frac{∂}{∂x} + ŷ\frac{∂}{∂y} + ẑ\frac{∂}{∂z} ) · (G_{x}x̂ + G_{y}ŷ + G_{z}ẑ)
= \frac{∂G_{x}}{∂x} + \frac{∂G_{y}}{∂y} + \frac{∂G_{z}}{∂z}

i kartesiske koordinater. I kule- eller sylinderkoordinater ser divergensoperatoren litt mer “komplisert” ut. I dette kurset vil den bestandig bli oppgitt dersom det blir bruk for den! Merk: Divergensen til en vektor er en skalar, i motsetning til gradienten til en skalar, som er en vektor.

Anvender vi divergensteoremet på Gauss’ lov, kan vi skrive:

∮_{S} E · dA = ∫_{V} ∇ · E dV

Netto ladning q_{in} i volumet V kan uttrykkes ved (rom-)ladningstettheten ρ:

q_{in} = ∫_{V} ρ dV

Dermed må vi, ifølge Gauss’ lov, kunne skrive

∫_{V} ∇ · E dV = ∫_{V} \frac{ρ}{ε_{0}} dV

Ettersom dette skal være riktig for vilkårlige lukkede flater S (med tilhørende volum V), må ikke bare disse integralene være like store – integrandene må også overalt være like store:

∇ · E = \frac{ρ}{ε_{0}}

Dette er Gauss’ lov for det elektrostatiske feltet på differensialform.

Tidligere har vi sett at det elektrostatiske feltet er “rotasjonsfritt”, ∇ × E = 0. Men det er altså ikke “divergensfritt”.

Når kan vi bruke Gauss’ lov?

• Gauss’ lov på integralform kan brukes til å bestemme det elektriske feltet fra en ladningsfordeling der vi har en eller annen form for symmetri. Eksempler: Kulesymmetri, plansymmetri, sylindersymmetri.

• Gauss’ lov på differensialform innbyr til å bestemme ladningsfordelingen, beskrevet ved ladningstettheten ρ, dersom det elektriske feltet er kjent.

Elektriske ledere (intro) [AF 25.5; LHL 19.2, 19.8; G 2.5] Hovedinndeling av materialer med hensyn på deres elektriske egenskaper:

Ledere: Metaller. Atomenes ytterste elektron(er) er fri til å bevege seg gjennom lederen. Isolatorer: Alle elektroner er bundet til atomene. Eksempler: glass, plast etc. Halvledere: Er isolator ved T = 0 (dvs null temperatur), men enkelte elektroner frigjøres ved T > 0.

Viktige materialer i elektroniske komponenter (f.eks. dioder, transistorer). Eksempler: Si, Ge, GaAs.

Videre: Superledere, Plasma, Elektrolytter etc. I dette kurset (i hvert fall fram til jul!) skal vi kun diskutere ledere og isolatorer. En isolator kalles også for et dielektrikum. Mer om det i neste uke.