Institutt for fysikk, NTNU TFY4150/FY1303/SIF4012/MNFFY103: Elektrisitet og magnetisme Høst 2003

Sammendrag, uke 42 (16. og 17. oktober)

Elektrisk strøm. [AF 24A; LHL 21]

Elektrisk strømstyrke = (positiv) ladning som passerer gjennom tverrsnitt av leder pr tidsenhet. I metall er elektroner ladningsbærerne, med ladning −e. Da går partikkelstrømmen og den elektriske strømmen i motsatt retning.

Med ladning ΔQ som passerer tverrsnitt A på tiden Δt:

I = \frac{ΔQ}{Δt} →^{Δt→0} \frac{dQ}{dt}

Enhet for strømstyrke: [I] = [Q/t] = C/s = A (ampere)

Med n = N/V ladningsbærere pr volumenhet, med midlere driftshastighet v og ladning q:

ΔQ = Nq = nV q = nΔxAq

⇒ I = \frac{ΔQ}{Δt} = nAq \frac{Δx}{Δt} = nAqv

Strømtetthet = strøm pr flateenhet:

j = \frac{I}{A}

Dermed:

j = nqv

Både strømtetthet j og driftshastighet v er vektorer:

j = nqv

Dersom vi også betrakter tverrsnittet A som en vektor, blir I en skalar størrelse:

I = j · A

Strømmen I har da kun retning i forhold til lederen (positiv eller negativ).

Generalisering, dersom j ikke er konstant over lederens tverrsnitt:

I = ∫_{S} j · dA

Ohms “lov” [AF 24.3, LHL 21.2, G 7.1.1] Må ha drivende kraft F for å få strøm gjennom lederen. Dersom

I ∼ F ∼ E ∼ V

har vi såkalt lineær respons:

I = \frac{1}{R}V

⇒ V = RI

som er Ohms lov. Enhet for motstand (resistans): [R] = [V/I] = V/A = Ω (ohm) Ohmske materialer: Følger Ohms lov for store variasjoner i I Ikke-ohmske materialer: Betydelige avvik fra lineær sammenheng mellom I og V Kretssymbol for motstand:

Elektrisk ledningsevne (konduktivitet) [AF 24.4, LHL 21.2, G 7.1.1]

Tilfeldig bevegelse (diffusjon) av ladningsbærere gjennom leder, pluss netto drift pga feltet E

Midlere driftshastighet langs −E: v Partikkelhastighet knyttet til temperaturen i lederen: v_{T} ∼ \sqrt{\frac{3k_{B}T}{m}} ≫ v

Kommentar: En korrekt kvantemekanisk beskrivelse av elektronene i et metall vil faktisk resultere i en enda større partikkelhastighet. Det skyldes at elektronene er en type elementærpartikler som kalles fermioner og adlyder det såkalte Pauliprinsippet, som sier at man ikke kan ha mer enn ett fermion i hver tillatte “tilstand”. Dette tvinger elektronene inn i tilstander med høyere energi enn de ville ha hatt hvis de var klassiske partikler. Mer om det i kommende kurs i kvantemekanikk og faste stoffers fysikk!

For ohmsk materiale: v = μF = μqE (μ = mobilitet)

Dette gir da lineær sammenheng mellom strømtetthet og elektrisk felt:

j = nqv = nq^{2}μE ≡ σE

som definerer materialets konduktivitet σ = nq^{2}μ. Dette er også Ohms lov.

Leder med lengde l, (konstant) tverrsnitt A og konduktivitet σ har resistans

R = \frac{1}{σ} \frac{l}{A}

Bevis:

I = jA = σEA = σ \frac{V}{l} A = \frac{1}{R}V ⇒ R = \frac{l}{σA}

Her har vi antatt at E er konstant i lederen (som er OK, se Griffiths, Example 7.3), og dermed lik spenningsfallet over lederen V dividert med lengden l. Det siste likhetstegnet i ligningen over er rett og slett Ohms lov, dvs definisjonen av R.

Kan nå innføre konduktans:

G = \frac{1}{R}

og resistivitet:

ρ = \frac{1}{σ}

σ og ρ er materialspesifikke størrelser R og G avhenger i tillegg av lederens størrelse og utforming

Enheter:

[G] = Ω^{−1} = S (siemens) [σ] = [l/RA] = Ω^{−1} m^{−1} [ρ] = Ω m

Temperaturavhengigheten til ρ [LHL 21.2]

Økt temperatur T resulterer i sterkere gittervibrasjoner og dermed hyppigere kollisjoner mellom elektronene og gitteret. Dette gir redusert driftshastighet v og redusert konduktivitet σ, dvs økt resistivitet ρ. Empirisk, gjelder over “et visst temperaturintervall” for metaller:

ρ(T) = ρ_{0}[1 + α(T − T_{0})]

Her er T_{0} en valgt referansetemperatur, f.eks. 300 K, ρ_{0} = ρ(T_{0}) målt resistivitet ved T_{0}, og α målt temperaturkoeffisient, dvs helning på ρ(T)/ρ_{0} plottet som funksjon av T.

Elektrisk effekt [AF 24.5, LHL 22.2, G 7.1]

Endring i potensiell energi, ΔU, for ladning ΔQ som går gjennom et spenningsfall V:

ΔU = ΔQ · V

Energibevarelse: Uten kollisjoner: Får akselerasjon av ladningsbærerne og økt kinetisk energi. Med kollisjoner (det vi faktisk har!), dvs motstand R: ΔU “tapes” som varme i motstanden.

Effekttap = energitap pr tidsenhet:

P = \frac{ΔU}{Δt} = V \frac{ΔQ}{Δt} = V · I

Hvis vi har ohmsk materiale (V = RI):

P = RI^{2} = \frac{V^{2}}{R}

Enhet for effekt:

[P] = [\frac{U}{t}] = \frac{J}{s} = W (watt)

Kobling av flere motstander [AF 24.6, LHL 21.3] Seriekobling av N motstander R_{i}, i = 1, .., N:

R = ∑_{i=1}^{N} R_{i}

Parallellkobling av N motstander R_{i}, i = 1, .., N:

\frac{1}{R} = ∑_{i=1}^{N} \frac{1}{R_{i}}

Fra øving 8, kobling av flere kapasitanser [AF Ex. 25.8, LHL 20.2]: Seriekobling av N kapasitanser C_{i}, i = 1, .., N:

\frac{1}{C} = ∑_{i=1}^{N} \frac{1}{C_{i}}

Parallellkobling av N kapasitanser C_{i}, i = 1, .., N:

C = ∑_{i=1}^{N} C_{i}

I disse uttrykkene representerer R og C henholdsvis den ekvivalente motstanden og kapasitansen dersom vi erstatter alle de serie- eller parallellkoblede elementene med en enkelt motstand eller kapasitans.