Institutt for fysikk, NTNU TFY4155/FY1303: Elektrisitet og magnetisme Vår 2004

Maxwells ligninger: Fra integralform til differensialform ved hjelp av divergensteoremet og Stokes’ teorem

Maxwells ligninger på integralform:

ε_{0} ∮ E · dA = q

∮ E · dl = −\frac{d}{dt} ∫ B · dA

∮ B · dA = 0

∮ B · dl = μ_{0}I + μ_{0}ε_{0} \frac{d}{dt} ∫ E · dA

Divergensteoremet:

∮_{S} G · dA = ∫_{V} ∇ · G dV

Her er S en lukket flate som omslutter volumet V, mens G representerer et vilkårlig vektorfelt. Divergens til en vektor G:

∇ · G = (x̂\frac{∂}{∂x} + ŷ\frac{∂}{∂y} + ẑ\frac{∂}{∂z} ) · (G_{x}x̂ + G_{y}ŷ + G_{z}ẑ)
= \frac{∂G_{x}}{∂x} + \frac{∂G_{y}}{∂y} + \frac{∂G_{z}}{∂z}

i kartesiske koordinater. I kule- eller sylinderkoordinater ser divergensoperatoren litt mer “komplisert” ut. Merk: Divergensen til en vektor er en skalar, i motsetning til gradienten til en skalar, som er en vektor.

Anvender vi divergensteoremet på det elektriske feltet, kan vi skrive:

∮_{S} E · dA = ∫_{V} ∇ · E dV

Netto ladning q i volumet V kan uttrykkes ved (rom-)ladningstettheten ρ:

q = ∫_{V} ρ dV

Dermed må vi, ifølge Gauss’ lov for E, kunne skrive

∫_{V} ∇ · E dV = ∫_{V} \frac{ρ}{ε_{0}} dV

Ettersom dette skal være riktig for vilkårlige lukkede flater S (med tilhørende volum V), må ikke bare disse integralene være like store – integrandene må også overalt være like store:

∇ · E = \frac{ρ}{ε_{0}}

Dette er Gauss’ lov for det elektriske feltet på differensialform.

Anvender vi divergensteoremet på magnetfeltet, kan vi skrive:

∮_{S} B · dA = ∫_{V} ∇ · B dV

Dermed må vi, ifølge Gauss’ lov for B, kunne skrive

∫_{V} ∇ · B dV = 0

Ettersom dette skal være riktig for vilkårlige lukkede flater S (med tilhørende volum V), må ikke bare dette integralet være lik null – integranden må også overalt være lik null:

∇ · B = 0

Dette er Gauss’ lov for magnetfeltet på differensialform.

Stokes’ teorem:

∫_{S} (∇ × G) · dA = ∮_{c} G · dl

som uttrykt med ord sier at veiintegralet av en vektor G rundt en lukket kurve c er lik flateintegralet av curl til vektoren G over en flate S som “omsluttes” av kurven c. Følgende figur illustrerer de ulike størrelsene som er involvert:

Curl til en vektor G:

∇ × G = x̂ (\frac{∂G_{z}}{∂y} − \frac{∂G_{y}}{∂z} ) + ŷ (\frac{∂G_{x}}{∂z} − \frac{∂G_{z}}{∂x} ) + ẑ (\frac{∂G_{y}}{∂x} − \frac{∂G_{x}}{∂y} )

Anvender vi Stokes’ teorem på E, kan vi skrive:

∮_{c} E · dl = ∫_{S} (∇ × E) · dA

Ifølge Faradays lov har vi da

∫_{S} (∇ × E) · dA = −\frac{d}{dt} ∫_{S} B · dA

La oss holde flaten S fast, slik at det bare er B som kan variere med tiden på høyre side. Da kan vi ta tidsderivasjonen inn i integralet og bruke partiell derivert:

∫_{S} (∇ × E) · dA = − ∫_{S} \frac{∂B}{∂t} · dA

Ettersom dette skal være riktig for en vilkårlig (her: åpen, ikke lukket!) flate S, må ikke bare disse integralene være like store – integrandene må også overalt være like store:

∇ × E = −\frac{∂B}{∂t}

Anvender vi Stokes’ teorem på B, kan vi skrive:

∮_{c} B · dl = ∫_{S} (∇ × B) · dA

Ifølge Ampere–Maxwells lov har vi da

∫_{S} (∇ × B) · dA = ∫_{S} μ_{0}j · dA + μ_{0}ε_{0} \frac{d}{dt} ∫_{S} E · dA

Her er j strømtettheten (dvs strøm pr flateenhet) på flaten S, slik at total strøm gjennom S er

I = ∫_{S} j · dA

La oss igjen holde flaten S fast, slik at det bare er E som kan variere med tiden på høyre side i ligningen over. Da kan vi ta tidsderivasjonen inn i integralet og bruke partiell derivert:

∫_{S} (∇ × B) · dA = ∫_{S} (μ_{0}j + μ_{0}ε_{0} \frac{∂E}{∂t} ) · dA

Ettersom dette skal være riktig for en vilkårlig (her: åpen, ikke lukket!) flate S, må ikke bare disse integralene være like store – integrandene må også overalt være like store:

∇ × B = μ_{0}j + μ_{0}ε_{0} \frac{∂E}{∂t}

Oppsummert: Maxwells ligninger på differensialform:

ε_{0}∇ · E = ρ

∇ × E = −\frac{∂B}{∂t}

∇ · B = 0

∇ × B = μ_{0}j + μ_{0}ε_{0} \frac{∂E}{∂t}